Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46367 / 56160
↖ ↑ ↗
← N 24.926295°
W 52.649231°		 ← 276.98 m → N 24.926295°
W 52.646484°		 →
↑
276.95 m
↓
↑
276.95 m
↓
N 24.923804°
W 52.649231°		 ← 276.98 m →
76 708 m²		 N 24.923804°
W 52.646484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.353755950927734 y=0.428470611572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.353755950927734 × 217)
    floor (0.353755950927734 × 131072)
    floor (46367.5)     		tx = 46367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428470611572266 × 217)
    floor (0.428470611572266 × 131072)
    floor (56160.5)     		ty = 56160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46367 / 56160 ti = "17/46367/56160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46367/56160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46367 ÷ 217
    46367 ÷ 131072     		x = 0.353752136230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56160 ÷ 217
    56160 ÷ 131072     		y = 0.428466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.353752136230469 × 2 - 1) × π
    -0.292495727539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.91890243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428466796875 × 2 - 1) × π
    0.14306640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.449456370837647
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.91890243} λ = -0.91890243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.449456370837647))-π/2
    2×atan(1.56745983695221)-π/2
    2×1.00292112038974-π/2
    2.00584224077948-1.57079632675     		φ = 0.43504591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.91890243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -52.649231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43504591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.926295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46367 KachelY 56160 -0.91890243 0.43504591 -52.649231 24.926295
    Oben rechts KachelX + 1 46368 KachelY 56160 -0.91885449 0.43504591 -52.646484 24.926295
    Unten links KachelX 46367 KachelY + 1 56161 -0.91890243 0.43500244 -52.649231 24.923804
    Unten rechts KachelX + 1 46368 KachelY + 1 56161 -0.91885449 0.43500244 -52.646484 24.923804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43504591-0.43500244) × R
    4.34699999999899e-05 × 6371000     		dl = 276.947369999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43504591-0.43500244) × R
    4.34699999999899e-05 × 6371000     		dr = 276.947369999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.91890243--0.91885449) × cos(0.43504591) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.906850694392099 × 6371000     		do = 276.975544404681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.91890243--0.91885449) × cos(0.43500244) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.906869014055258 × 6371000     		du = 276.981139701357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43504591)-sin(0.43500244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906850694392099-0.906869014055258)×R²
    abs(-0.91885449--0.91890243)×1.83196631587945e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.83196631587945e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.83196631587945e-05×40589641000000     		ar = 76708.423390633m²