Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4636 / 3790
↖ ↑ ↗
← N 13.325485°
E 23.730469°		 ← 4 754.93 m → N 13.325485°
E 23.774414°		 →
↑
4 755.38 m
↓
↑
4 755.38 m
↓
N 13.282719°
E 23.730469°		 ← 4 755.77 m →
22 613 494 m²		 N 13.282719°
E 23.774414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56597900390625 y=0.46270751953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56597900390625 × 213)
    floor (0.56597900390625 × 8192)
    floor (4636.5)     		tx = 4636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.46270751953125 × 213)
    floor (0.46270751953125 × 8192)
    floor (3790.5)     		ty = 3790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4636 / 3790 ti = "13/4636/3790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4636/3790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4636 ÷ 213
    4636 ÷ 8192     		x = 0.56591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3790 ÷ 213
    3790 ÷ 8192     		y = 0.462646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56591796875 × 2 - 1) × π
    0.1318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41417481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462646484375 × 2 - 1) × π
    0.07470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.234699060539795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41417481} λ = 0.41417481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.234699060539795))-π/2
    2×atan(1.26452816504303)-π/2
    2×0.901684956233397-π/2
    1.80336991246679-1.57079632675     		φ = 0.23257359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41417481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.730469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23257359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.325485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4636 KachelY 3790 0.41417481 0.23257359 23.730469 13.325485
    Oben rechts KachelX + 1 4637 KachelY 3790 0.41494180 0.23257359 23.774414 13.325485
    Unten links KachelX 4636 KachelY + 1 3791 0.41417481 0.23182718 23.730469 13.282719
    Unten rechts KachelX + 1 4637 KachelY + 1 3791 0.41494180 0.23182718 23.774414 13.282719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23257359-0.23182718) × R
    0.000746410000000003 × 6371000     		dl = 4755.37811000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23257359-0.23182718) × R
    0.000746410000000003 × 6371000     		dr = 4755.37811000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41417481-0.41494180) × cos(0.23257359) × R
    0.000766990000000023 × 0.973076450505838 × 6371000     		do = 4754.93154605394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41417481-0.41494180) × cos(0.23182718) × R
    0.000766990000000023 × 0.973248213931295 × 6371000     		du = 4755.7708668799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23257359)-sin(0.23182718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.973076450505838-0.973248213931295)×R²
    abs(0.41494180-0.41417481)×0.000171763425456661×R²
    0.000766990000000023×0.000171763425456661×6371000²
    0.000766990000000023×0.000171763425456661×40589641000000     		ar = 22613494.082479m²