Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4636 / 3782
↖ ↑ ↗
← N 13.667338°
E 23.730469°		 ← 4 748.13 m → N 13.667338°
E 23.774414°		 →
↑
4 748.56 m
↓
↑
4 748.56 m
↓
N 13.624633°
E 23.730469°		 ← 4 748.99 m →
22 548 814 m²		 N 13.624633°
E 23.774414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56597900390625 y=0.46173095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56597900390625 × 213)
    floor (0.56597900390625 × 8192)
    floor (4636.5)     		tx = 4636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.46173095703125 × 213)
    floor (0.46173095703125 × 8192)
    floor (3782.5)     		ty = 3782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4636 / 3782 ti = "13/4636/3782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4636/3782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4636 ÷ 213
    4636 ÷ 8192     		x = 0.56591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3782 ÷ 213
    3782 ÷ 8192     		y = 0.461669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56591796875 × 2 - 1) × π
    0.1318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41417481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461669921875 × 2 - 1) × π
    0.07666015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.240834983691162
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41417481} λ = 0.41417481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.240834983691162))-π/2
    2×atan(1.27231106590873)-π/2
    2×0.904668189701489-π/2
    1.80933637940298-1.57079632675     		φ = 0.23854005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41417481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.730469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23854005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.667338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4636 KachelY 3782 0.41417481 0.23854005 23.730469 13.667338
    Oben rechts KachelX + 1 4637 KachelY 3782 0.41494180 0.23854005 23.774414 13.667338
    Unten links KachelX 4636 KachelY + 1 3783 0.41417481 0.23779471 23.730469 13.624633
    Unten rechts KachelX + 1 4637 KachelY + 1 3783 0.41494180 0.23779471 23.774414 13.624633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23854005-0.23779471) × R
    0.000745340000000011 × 6371000     		dl = 4748.56114000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23854005-0.23779471) × R
    0.000745340000000011 × 6371000     		dr = 4748.56114000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41417481-0.41494180) × cos(0.23854005) × R
    0.000766990000000023 × 0.971683973497278 × 6371000     		do = 4748.12721649513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41417481-0.41494180) × cos(0.23779471) × R
    0.000766990000000023 × 0.971859815697206 × 6371000     		du = 4748.98646822517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23854005)-sin(0.23779471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971683973497278-0.971859815697206)×R²
    abs(0.41494180-0.41417481)×0.000175842199928167×R²
    0.000766990000000023×0.000175842199928167×6371000²
    0.000766990000000023×0.000175842199928167×40589641000000     		ar = 22548813.5365949m²