Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46343 / 55581
↖ ↑ ↗
← N 26.359881°
W 52.715149°		 ← 273.61 m → N 26.359881°
W 52.712402°		 →
↑
273.70 m
↓
↑
273.70 m
↓
N 26.357420°
W 52.715149°		 ← 273.62 m →
74 888 m²		 N 26.357420°
W 52.712402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.353572845458984 y=0.424053192138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.353572845458984 × 217)
    floor (0.353572845458984 × 131072)
    floor (46343.5)     		tx = 46343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424053192138672 × 217)
    floor (0.424053192138672 × 131072)
    floor (55581.5)     		ty = 55581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46343 / 55581 ti = "17/46343/55581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46343/55581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46343 ÷ 217
    46343 ÷ 131072     		x = 0.353569030761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55581 ÷ 217
    55581 ÷ 131072     		y = 0.424049377441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.353569030761719 × 2 - 1) × π
    -0.292861938476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.92005291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424049377441406 × 2 - 1) × π
    0.151901245117188 × 3.1415926535     		Φ = 0.477211835717659
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.92005291} λ = -0.92005291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.477211835717659))-π/2
    2×atan(1.61157479700128)-π/2
    2×1.01543152116105-π/2
    2.03086304232211-1.57079632675     		φ = 0.46006672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.92005291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -52.715149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46006672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.359881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46343 KachelY 55581 -0.92005291 0.46006672 -52.715149 26.359881
    Oben rechts KachelX + 1 46344 KachelY 55581 -0.92000498 0.46006672 -52.712402 26.359881
    Unten links KachelX 46343 KachelY + 1 55582 -0.92005291 0.46002376 -52.715149 26.357420
    Unten rechts KachelX + 1 46344 KachelY + 1 55582 -0.92000498 0.46002376 -52.712402 26.357420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46006672-0.46002376) × R
    4.29599999999808e-05 × 6371000     		dl = 273.698159999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46006672-0.46002376) × R
    4.29599999999808e-05 × 6371000     		dr = 273.698159999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.92005291--0.92000498) × cos(0.46006672) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.896022875313435 × 6371000     		do = 273.611364132315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.92005291--0.92000498) × cos(0.46002376) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.896041949065577 × 6371000     		du = 273.617188531989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46006672)-sin(0.46002376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896022875313435-0.896041949065577)×R²
    abs(-0.92000498--0.92005291)×1.90737521416073e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.90737521416073e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.90737521416073e-05×40589641000000     		ar = 74887.7239933401m²