Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4633 / 3334
↖ ↑ ↗
← N 31.728167°
E 23.598633°		 ← 4 156.22 m → N 31.728167°
E 23.642578°		 →
↑
4 157.01 m
↓
↑
4 157.01 m
↓
N 31.690782°
E 23.598633°		 ← 4 157.90 m →
17 280 948 m²		 N 31.690782°
E 23.642578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56561279296875 y=0.40704345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56561279296875 × 213)
    floor (0.56561279296875 × 8192)
    floor (4633.5)     		tx = 4633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40704345703125 × 213)
    floor (0.40704345703125 × 8192)
    floor (3334.5)     		ty = 3334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4633 / 3334 ti = "13/4633/3334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4633/3334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4633 ÷ 213
    4633 ÷ 8192     		x = 0.5655517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3334 ÷ 213
    3334 ÷ 8192     		y = 0.406982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5655517578125 × 2 - 1) × π
    0.131103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41187384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406982421875 × 2 - 1) × π
    0.18603515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.584446680167725
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41187384} λ = 0.41187384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.584446680167725))-π/2
    2×atan(1.79399805625788)-π/2
    2×1.06227865455095-π/2
    2.1245573091019-1.57079632675     		φ = 0.55376098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41187384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.598633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55376098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.728167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4633 KachelY 3334 0.41187384 0.55376098 23.598633 31.728167
    Oben rechts KachelX + 1 4634 KachelY 3334 0.41264083 0.55376098 23.642578 31.728167
    Unten links KachelX 4633 KachelY + 1 3335 0.41187384 0.55310849 23.598633 31.690782
    Unten rechts KachelX + 1 4634 KachelY + 1 3335 0.41264083 0.55310849 23.642578 31.690782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55376098-0.55310849) × R
    0.000652490000000006 × 6371000     		dl = 4157.01379000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55376098-0.55310849) × R
    0.000652490000000006 × 6371000     		dr = 4157.01379000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41187384-0.41264083) × cos(0.55376098) × R
    0.000766990000000023 × 0.850552681019615 × 6371000     		do = 4156.21996859398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41187384-0.41264083) × cos(0.55310849) × R
    0.000766990000000023 × 0.850895637806526 × 6371000     		du = 4157.89582463199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55376098)-sin(0.55310849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850552681019615-0.850895637806526)×R²
    abs(0.41264083-0.41187384)×0.000342956786911541×R²
    0.000766990000000023×0.000342956786911541×6371000²
    0.000766990000000023×0.000342956786911541×40589641000000     		ar = 17280947.6151509m²