Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4632 / 5659
↖ ↑ ↗
← S 56.438204°
E 23.554687°		 ← 2 701.43 m → S 56.438204°
E 23.598633°		 →
↑
2 700.54 m
↓
↑
2 700.54 m
↓
S 56.462490°
E 23.554687°		 ← 2 699.70 m →
7 292 987 m²		 S 56.462490°
E 23.598633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56549072265625 y=0.69085693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56549072265625 × 213)
    floor (0.56549072265625 × 8192)
    floor (4632.5)     		tx = 4632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.69085693359375 × 213)
    floor (0.69085693359375 × 8192)
    floor (5659.5)     		ty = 5659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4632 / 5659 ti = "13/4632/5659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4632/5659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4632 ÷ 213
    4632 ÷ 8192     		x = 0.5654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5659 ÷ 213
    5659 ÷ 8192     		y = 0.6907958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5654296875 × 2 - 1) × π
    0.130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41110685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6907958984375 × 2 - 1) × π
    -0.381591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.19880598569836
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41110685} λ = 0.41110685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19880598569836))-π/2
    2×atan(0.301554056896072)-π/2
    2×0.292881924224807-π/2
    0.585763848449614-1.57079632675     		φ = -0.98503248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41110685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.554687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98503248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.438204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4632 KachelY 5659 0.41110685 -0.98503248 23.554687 -56.438204
    Oben rechts KachelX + 1 4633 KachelY 5659 0.41187384 -0.98503248 23.598633 -56.438204
    Unten links KachelX 4632 KachelY + 1 5660 0.41110685 -0.98545636 23.554687 -56.462490
    Unten rechts KachelX + 1 4633 KachelY + 1 5660 0.41187384 -0.98545636 23.598633 -56.462490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98503248--0.98545636) × R
    0.000423880000000043 × 6371000     		dl = 2700.53948000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98503248--0.98545636) × R
    0.000423880000000043 × 6371000     		dr = 2700.53948000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41110685-0.41187384) × cos(-0.98503248) × R
    0.000766989999999967 × 0.552836049479322 × 6371000     		do = 2701.4296462507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41110685-0.41187384) × cos(-0.98545636) × R
    0.000766989999999967 × 0.552482784839583 × 6371000     		du = 2699.70342095902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98503248)-sin(-0.98545636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552836049479322-0.552482784839583)×R²
    abs(0.41187384-0.41110685)×0.000353264639738393×R²
    0.000766989999999967×0.000353264639738393×6371000²
    0.000766989999999967×0.000353264639738393×40589641000000     		ar = 7292986.65156394m²