Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4631 / 3594
↖ ↑ ↗
← N 70.539543°
W 78.244629°		 ← 813.99 m → N 70.539543°
W 78.222656°		 →
↑
814.15 m
↓
↑
814.15 m
↓
N 70.532221°
W 78.244629°		 ← 814.29 m →
662 833 m²		 N 70.532221°
W 78.222656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282684326171875 y=0.219390869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282684326171875 × 214)
    floor (0.282684326171875 × 16384)
    floor (4631.5)     		tx = 4631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219390869140625 × 214)
    floor (0.219390869140625 × 16384)
    floor (3594.5)     		ty = 3594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4631 / 3594 ti = "14/4631/3594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4631/3594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4631 ÷ 214
    4631 ÷ 16384     		x = 0.28265380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3594 ÷ 214
    3594 ÷ 16384     		y = 0.2193603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28265380859375 × 2 - 1) × π
    -0.4346923828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.36562640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2193603515625 × 2 - 1) × π
    0.561279296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.76331091562415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36562640} λ = -1.36562640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76331091562415))-π/2
    2×atan(5.83171377781636)-π/2
    2×1.40097180403346-π/2
    2.80194360806693-1.57079632675     		φ = 1.23114728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36562640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.244629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23114728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.539543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4631 KachelY 3594 -1.36562640 1.23114728 -78.244629 70.539543
    Oben rechts KachelX + 1 4632 KachelY 3594 -1.36524290 1.23114728 -78.222656 70.539543
    Unten links KachelX 4631 KachelY + 1 3595 -1.36562640 1.23101949 -78.244629 70.532221
    Unten rechts KachelX + 1 4632 KachelY + 1 3595 -1.36524290 1.23101949 -78.222656 70.532221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23114728-1.23101949) × R
    0.000127790000000072 × 6371000     		dl = 814.150090000459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23114728-1.23101949) × R
    0.000127790000000072 × 6371000     		dr = 814.150090000459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36562640--1.36524290) × cos(1.23114728) × R
    0.000383500000000092 × 0.333156208838619 × 6371000     		do = 813.993402197102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36562640--1.36524290) × cos(1.23101949) × R
    0.000383500000000092 × 0.333276695685644 × 6371000     		du = 814.287785119972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23114728)-sin(1.23101949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333156208838619-0.333276695685644)×R²
    abs(-1.36524290--1.36562640)×0.000120486847025147×R²
    0.000383500000000092×0.000120486847025147×6371000²
    0.000383500000000092×0.000120486847025147×40589641000000     		ar = 662832.63850202m²