Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4631 / 3437
↖ ↑ ↗
← N 27.800210°
E 23.510742°		 ← 4 322.49 m → N 27.800210°
E 23.554687°		 →
↑
4 323.30 m
↓
↑
4 323.30 m
↓
N 27.761330°
E 23.510742°		 ← 4 324.04 m →
18 690 752 m²		 N 27.761330°
E 23.554687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56536865234375 y=0.41961669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56536865234375 × 213)
    floor (0.56536865234375 × 8192)
    floor (4631.5)     		tx = 4631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41961669921875 × 213)
    floor (0.41961669921875 × 8192)
    floor (3437.5)     		ty = 3437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4631 / 3437 ti = "13/4631/3437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4631/3437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4631 ÷ 213
    4631 ÷ 8192     		x = 0.5653076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3437 ÷ 213
    3437 ÷ 8192     		y = 0.4195556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5653076171875 × 2 - 1) × π
    0.130615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41033986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4195556640625 × 2 - 1) × π
    0.160888671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.505446669593872
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41033986} λ = 0.41033986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.505446669593872))-π/2
    2×atan(1.65772581083062)-π/2
    2×1.02800076146786-π/2
    2.05600152293571-1.57079632675     		φ = 0.48520520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41033986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.510742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48520520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.800210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4631 KachelY 3437 0.41033986 0.48520520 23.510742 27.800210
    Oben rechts KachelX + 1 4632 KachelY 3437 0.41110685 0.48520520 23.554687 27.800210
    Unten links KachelX 4631 KachelY + 1 3438 0.41033986 0.48452661 23.510742 27.761330
    Unten rechts KachelX + 1 4632 KachelY + 1 3438 0.41110685 0.48452661 23.554687 27.761330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48520520-0.48452661) × R
    0.000678589999999979 × 6371000     		dl = 4323.29688999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48520520-0.48452661) × R
    0.000678589999999979 × 6371000     		dr = 4323.29688999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41033986-0.41110685) × cos(0.48520520) × R
    0.000766990000000023 × 0.884579264528319 × 6371000     		do = 4322.4906405909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41033986-0.41110685) × cos(0.48452661) × R
    0.000766990000000023 × 0.884895548348582 × 6371000     		du = 4324.03615935635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48520520)-sin(0.48452661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884579264528319-0.884895548348582)×R²
    abs(0.41110685-0.41033986)×0.000316283820263275×R²
    0.000766990000000023×0.000316283820263275×6371000²
    0.000766990000000023×0.000316283820263275×40589641000000     		ar = 18690751.9289908m²