Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4630 / 5654
↖ ↑ ↗
← S 56.316537°
E 23.466797°		 ← 2 710.07 m → S 56.316537°
E 23.510742°		 →
↑
2 709.20 m
↓
↑
2 709.20 m
↓
S 56.340901°
E 23.466797°		 ← 2 708.34 m →
7 339 790 m²		 S 56.340901°
E 23.510742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56524658203125 y=0.69024658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56524658203125 × 213)
    floor (0.56524658203125 × 8192)
    floor (4630.5)     		tx = 4630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.69024658203125 × 213)
    floor (0.69024658203125 × 8192)
    floor (5654.5)     		ty = 5654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4630 / 5654 ti = "13/4630/5654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4630/5654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4630 ÷ 213
    4630 ÷ 8192     		x = 0.565185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5654 ÷ 213
    5654 ÷ 8192     		y = 0.690185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565185546875 × 2 - 1) × π
    0.13037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40957287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690185546875 × 2 - 1) × π
    -0.38037109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.19497103372876
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40957287} λ = 0.40957287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19497103372876))-π/2
    2×atan(0.302712722513978)-π/2
    2×0.293943668846336-π/2
    0.587887337692672-1.57079632675     		φ = -0.98290899
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40957287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.466797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98290899 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.316537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4630 KachelY 5654 0.40957287 -0.98290899 23.466797 -56.316537
    Oben rechts KachelX + 1 4631 KachelY 5654 0.41033986 -0.98290899 23.510742 -56.316537
    Unten links KachelX 4630 KachelY + 1 5655 0.40957287 -0.98333423 23.466797 -56.340901
    Unten rechts KachelX + 1 4631 KachelY + 1 5655 0.41033986 -0.98333423 23.510742 -56.340901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98290899--0.98333423) × R
    0.000425239999999993 × 6371000     		dl = 2709.20403999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98290899--0.98333423) × R
    0.000425239999999993 × 6371000     		dr = 2709.20403999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40957287-0.41033986) × cos(-0.98290899) × R
    0.000766990000000023 × 0.554604284804963 × 6371000     		do = 2710.07011630478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40957287-0.41033986) × cos(-0.98333423) × R
    0.000766990000000023 × 0.554250386417326 × 6371000     		du = 2708.34079420825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98290899)-sin(-0.98333423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554604284804963-0.554250386417326)×R²
    abs(0.41033986-0.40957287)×0.00035389838763733×R²
    0.000766990000000023×0.00035389838763733×6371000²
    0.000766990000000023×0.00035389838763733×40589641000000     		ar = 7339790.4751763m²