Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4630 / 12852
↖ ↑ ↗
← S 70.988349°
W 78.266601°		 ← 795.90 m → S 70.988349°
W 78.244629°		 →
↑
795.80 m
↓
↑
795.80 m
↓
S 70.995506°
W 78.266601°		 ← 795.61 m →
633 266 m²		 S 70.995506°
W 78.244629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282623291015625 y=0.784454345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282623291015625 × 214)
    floor (0.282623291015625 × 16384)
    floor (4630.5)     		tx = 4630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784454345703125 × 214)
    floor (0.784454345703125 × 16384)
    floor (12852.5)     		ty = 12852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4630 / 12852 ti = "14/4630/12852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4630/12852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4630 ÷ 214
    4630 ÷ 16384     		x = 0.2825927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12852 ÷ 214
    12852 ÷ 16384     		y = 0.784423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2825927734375 × 2 - 1) × π
    -0.434814453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.36600989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784423828125 × 2 - 1) × π
    -0.56884765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.78708761783569
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36600989} λ = -1.36600989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78708761783569))-π/2
    2×atan(0.167447130250789)-π/2
    2×0.165907951147497-π/2
    0.331815902294995-1.57079632675     		φ = -1.23898042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36600989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.266601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23898042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.988349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4630 KachelY 12852 -1.36600989 -1.23898042 -78.266601 -70.988349
    Oben rechts KachelX + 1 4631 KachelY 12852 -1.36562640 -1.23898042 -78.244629 -70.988349
    Unten links KachelX 4630 KachelY + 1 12853 -1.36600989 -1.23910533 -78.266601 -70.995506
    Unten rechts KachelX + 1 4631 KachelY + 1 12853 -1.36562640 -1.23910533 -78.244629 -70.995506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23898042--1.23910533) × R
    0.000124909999999812 × 6371000     		dl = 795.801609998799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23898042--1.23910533) × R
    0.000124909999999812 × 6371000     		dr = 795.801609998799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36600989--1.36562640) × cos(-1.23898042) × R
    0.000383489999999931 × 0.325760417901964 × 6371000     		do = 795.902671014516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36600989--1.36562640) × cos(-1.23910533) × R
    0.000383489999999931 × 0.325642318907628 × 6371000     		du = 795.614129804871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23898042)-sin(-1.23910533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325760417901964-0.325642318907628)×R²
    abs(-1.36562640--1.36600989)×0.000118098994335736×R²
    0.000383489999999931×0.000118098994335736×6371000²
    0.000383489999999931×0.000118098994335736×40589641000000     		ar = 633265.817038917m²