Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4629 / 3784
↖ ↑ ↗
← N 13.581921°
E 23.422852°		 ← 4 749.84 m → N 13.581921°
E 23.466797°		 →
↑
4 750.28 m
↓
↑
4 750.28 m
↓
N 13.539201°
E 23.422852°		 ← 4 750.70 m →
22 565 122 m²		 N 13.539201°
E 23.466797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56512451171875 y=0.46197509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56512451171875 × 213)
    floor (0.56512451171875 × 8192)
    floor (4629.5)     		tx = 4629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.46197509765625 × 213)
    floor (0.46197509765625 × 8192)
    floor (3784.5)     		ty = 3784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4629 / 3784 ti = "13/4629/3784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4629/3784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4629 ÷ 213
    4629 ÷ 8192     		x = 0.5650634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3784 ÷ 213
    3784 ÷ 8192     		y = 0.4619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5650634765625 × 2 - 1) × π
    0.130126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40880588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4619140625 × 2 - 1) × π
    0.076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.23930100290332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40880588} λ = 0.40880588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.23930100290332))-π/2
    2×atan(1.27036086134805)-π/2
    2×0.903922782624103-π/2
    1.80784556524821-1.57079632675     		φ = 0.23704924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40880588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.422852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23704924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.581921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4629 KachelY 3784 0.40880588 0.23704924 23.422852 13.581921
    Oben rechts KachelX + 1 4630 KachelY 3784 0.40957287 0.23704924 23.466797 13.581921
    Unten links KachelX 4629 KachelY + 1 3785 0.40880588 0.23630363 23.422852 13.539201
    Unten rechts KachelX + 1 4630 KachelY + 1 3785 0.40957287 0.23630363 23.466797 13.539201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23704924-0.23630363) × R
    0.000745610000000008 × 6371000     		dl = 4750.28131000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23704924-0.23630363) × R
    0.000745610000000008 × 6371000     		dr = 4750.28131000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40880588-0.40957287) × cos(0.23704924) × R
    0.000766989999999967 × 0.97203514852682 × 6371000     		do = 4749.84323092026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40880588-0.40957287) × cos(0.23630363) × R
    0.000766989999999967 × 0.972209973947211 × 6371000     		du = 4750.69751416392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23704924)-sin(0.23630363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97203514852682-0.972209973947211)×R²
    abs(0.40957287-0.40880588)×0.000174825420391378×R²
    0.000766989999999967×0.000174825420391378×6371000²
    0.000766989999999967×0.000174825420391378×40589641000000     		ar = 22565121.6135269m²