Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4629 / 3431
↖ ↑ ↗
← N 28.033198°
E 23.422852°		 ← 4 313.19 m → N 28.033198°
E 23.466797°		 →
↑
4 313.93 m
↓
↑
4 313.93 m
↓
N 27.994402°
E 23.422852°		 ← 4 314.74 m →
18 610 149 m²		 N 27.994402°
E 23.466797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56512451171875 y=0.41888427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56512451171875 × 213)
    floor (0.56512451171875 × 8192)
    floor (4629.5)     		tx = 4629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41888427734375 × 213)
    floor (0.41888427734375 × 8192)
    floor (3431.5)     		ty = 3431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4629 / 3431 ti = "13/4629/3431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4629/3431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4629 ÷ 213
    4629 ÷ 8192     		x = 0.5650634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3431 ÷ 213
    3431 ÷ 8192     		y = 0.4188232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5650634765625 × 2 - 1) × π
    0.130126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40880588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4188232421875 × 2 - 1) × π
    0.162353515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.510048611957397
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40880588} λ = 0.40880588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.510048611957397))-π/2
    2×atan(1.66537214997818)-π/2
    2×1.03003396454348-π/2
    2.06006792908697-1.57079632675     		φ = 0.48927160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40880588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.422852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48927160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.033198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4629 KachelY 3431 0.40880588 0.48927160 23.422852 28.033198
    Oben rechts KachelX + 1 4630 KachelY 3431 0.40957287 0.48927160 23.466797 28.033198
    Unten links KachelX 4629 KachelY + 1 3432 0.40880588 0.48859448 23.422852 27.994402
    Unten rechts KachelX + 1 4630 KachelY + 1 3432 0.40957287 0.48859448 23.466797 27.994402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48927160-0.48859448) × R
    0.000677119999999976 × 6371000     		dl = 4313.93151999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48927160-0.48859448) × R
    0.000677119999999976 × 6371000     		dr = 4313.93151999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40880588-0.40957287) × cos(0.48927160) × R
    0.000766989999999967 × 0.882675428408608 × 6371000     		do = 4313.18755816635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40880588-0.40957287) × cos(0.48859448) × R
    0.000766989999999967 × 0.882993460972506 × 6371000     		du = 4314.74162215585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48927160)-sin(0.48859448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882675428408608-0.882993460972506)×R²
    abs(0.40957287-0.40880588)×0.000318032563898618×R²
    0.000766989999999967×0.000318032563898618×6371000²
    0.000766989999999967×0.000318032563898618×40589641000000     		ar = 18610148.5327083m²