Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4627 / 3792
↖ ↑ ↗
← N 13.239945°
E 23.334961°		 ← 4 756.61 m → N 13.239945°
E 23.378906°		 →
↑
4 757.03 m
↓
↑
4 757.03 m
↓
N 13.197164°
E 23.334961°		 ← 4 757.44 m →
22 629 333 m²		 N 13.197164°
E 23.378906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56488037109375 y=0.46295166015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56488037109375 × 213)
    floor (0.56488037109375 × 8192)
    floor (4627.5)     		tx = 4627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.46295166015625 × 213)
    floor (0.46295166015625 × 8192)
    floor (3792.5)     		ty = 3792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4627 / 3792 ti = "13/4627/3792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4627/3792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4627 ÷ 213
    4627 ÷ 8192     		x = 0.5648193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3792 ÷ 213
    3792 ÷ 8192     		y = 0.462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5648193359375 × 2 - 1) × π
    0.129638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40727190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462890625 × 2 - 1) × π
    0.07421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.233165079751953
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40727190} λ = 0.40727190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.233165079751953))-π/2
    2×atan(1.26258989015047)-π/2
    2×0.90093848426778-π/2
    1.80187696853556-1.57079632675     		φ = 0.23108064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40727190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.334961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23108064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.239945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4627 KachelY 3792 0.40727190 0.23108064 23.334961 13.239945
    Oben rechts KachelX + 1 4628 KachelY 3792 0.40803889 0.23108064 23.378906 13.239945
    Unten links KachelX 4627 KachelY + 1 3793 0.40727190 0.23033397 23.334961 13.197164
    Unten rechts KachelX + 1 4628 KachelY + 1 3793 0.40803889 0.23033397 23.378906 13.197164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23108064-0.23033397) × R
    0.000746670000000005 × 6371000     		dl = 4757.03457000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23108064-0.23033397) × R
    0.000746670000000005 × 6371000     		dr = 4757.03457000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40727190-0.40803889) × cos(0.23108064) × R
    0.000766989999999967 × 0.973419464906907 × 6371000     		do = 4756.60768362279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40727190-0.40803889) × cos(0.23033397) × R
    0.000766989999999967 × 0.973590203053847 × 6371000     		du = 4757.44199443216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23108064)-sin(0.23033397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.973419464906907-0.973590203053847)×R²
    abs(0.40803889-0.40727190)×0.000170738146939797×R²
    0.000766989999999967×0.000170738146939797×6371000²
    0.000766989999999967×0.000170738146939797×40589641000000     		ar = 22629332.6609538m²