Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4626 / 3539
↖ ↑ ↗
← N 23.765237°
E 23.291016°		 ← 4 472.14 m → N 23.765237°
E 23.334961°		 →
↑
4 472.82 m
↓
↑
4 472.82 m
↓
N 23.725012°
E 23.291016°		 ← 4 473.52 m →
20 006 186 m²		 N 23.725012°
E 23.334961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56475830078125 y=0.43206787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56475830078125 × 213)
    floor (0.56475830078125 × 8192)
    floor (4626.5)     		tx = 4626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43206787109375 × 213)
    floor (0.43206787109375 × 8192)
    floor (3539.5)     		ty = 3539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4626 / 3539 ti = "13/4626/3539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4626/3539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4626 ÷ 213
    4626 ÷ 8192     		x = 0.564697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3539 ÷ 213
    3539 ÷ 8192     		y = 0.4320068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564697265625 × 2 - 1) × π
    0.12939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40650491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4320068359375 × 2 - 1) × π
    0.135986328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.42721364941394
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40650491} λ = 0.40650491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.42721364941394))-π/2
    2×atan(1.53298014704925)-π/2
    2×0.992788979013213-π/2
    1.98557795802643-1.57079632675     		φ = 0.41478163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40650491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.291016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41478163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.765237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4626 KachelY 3539 0.40650491 0.41478163 23.291016 23.765237
    Oben rechts KachelX + 1 4627 KachelY 3539 0.40727190 0.41478163 23.334961 23.765237
    Unten links KachelX 4626 KachelY + 1 3540 0.40650491 0.41407957 23.291016 23.725012
    Unten rechts KachelX + 1 4627 KachelY + 1 3540 0.40727190 0.41407957 23.334961 23.725012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41478163-0.41407957) × R
    0.000702060000000004 × 6371000     		dl = 4472.82426000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41478163-0.41407957) × R
    0.000702060000000004 × 6371000     		dr = 4472.82426000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40650491-0.40727190) × cos(0.41478163) × R
    0.000766990000000023 × 0.91520434326016 × 6371000     		do = 4472.13988231976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40650491-0.40727190) × cos(0.41407957) × R
    0.000766990000000023 × 0.915487040910553 × 6371000     		du = 4473.5212824915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41478163)-sin(0.41407957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91520434326016-0.915487040910553)×R²
    abs(0.40727190-0.40650491)×0.000282697650392127×R²
    0.000766990000000023×0.000282697650392127×6371000²
    0.000766990000000023×0.000282697650392127×40589641000000     		ar = 20006185.9615896m²