Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4625 / 5639
↖ ↑ ↗
← N 75.477886°
W129.188232°		 ← 306.33 m → N 75.477886°
W129.177246°		 →
↑
306.38 m
↓
↑
306.38 m
↓
N 75.475130°
W129.188232°		 ← 306.39 m →
93 863 m²		 N 75.475130°
W129.177246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.141159057617188 y=0.172103881835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.141159057617188 × 215)
    floor (0.141159057617188 × 32768)
    floor (4625.5)     		tx = 4625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172103881835938 × 215)
    floor (0.172103881835938 × 32768)
    floor (5639.5)     		ty = 5639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4625 / 5639 ti = "15/4625/5639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4625/5639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4625 ÷ 215
    4625 ÷ 32768     		x = 0.141143798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5639 ÷ 215
    5639 ÷ 32768     		y = 0.172088623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.141143798828125 × 2 - 1) × π
    -0.71771240234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.25476001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172088623046875 × 2 - 1) × π
    0.65582275390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.06032794567001
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25476001} λ = -2.25476001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06032794567001))-π/2
    2×atan(7.84854328410153)-π/2
    2×1.44406697329181-π/2
    2.88813394658362-1.57079632675     		φ = 1.31733762
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25476001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.188232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31733762 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.477886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4625 KachelY 5639 -2.25476001 1.31733762 -129.188232 75.477886
    Oben rechts KachelX + 1 4626 KachelY 5639 -2.25456826 1.31733762 -129.177246 75.477886
    Unten links KachelX 4625 KachelY + 1 5640 -2.25476001 1.31728953 -129.188232 75.475130
    Unten rechts KachelX + 1 4626 KachelY + 1 5640 -2.25456826 1.31728953 -129.177246 75.475130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31733762-1.31728953) × R
    4.80899999999451e-05 × 6371000     		dl = 306.38138999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31733762-1.31728953) × R
    4.80899999999451e-05 × 6371000     		dr = 306.38138999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25476001--2.25456826) × cos(1.31733762) × R
    0.000191749999999935 × 0.250753656747304 × 6371000     		do = 306.330509163431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25476001--2.25456826) × cos(1.31728953) × R
    0.000191749999999935 × 0.250800210026571 × 6371000     		du = 306.387380476599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31733762)-sin(1.31728953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250753656747304-0.250800210026571)×R²
    abs(-2.25456826--2.25476001)×4.65532792669476e-05×R²
    0.000191749999999935×4.65532792669476e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.65532792669476e-05×40589641000000     		ar = 93862.6793709399m²