Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4625 / 3861
↖ ↑ ↗
← N 10.271681°
E 23.247070°		 ← 4 808.18 m → N 10.271681°
E 23.291016°		 →
↑
4 808.51 m
↓
↑
4 808.51 m
↓
N 10.228437°
E 23.247070°		 ← 4 808.84 m →
23 121 766 m²		 N 10.228437°
E 23.291016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56463623046875 y=0.47137451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56463623046875 × 213)
    floor (0.56463623046875 × 8192)
    floor (4625.5)     		tx = 4625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.47137451171875 × 213)
    floor (0.47137451171875 × 8192)
    floor (3861.5)     		ty = 3861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4625 / 3861 ti = "13/4625/3861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4625/3861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4625 ÷ 213
    4625 ÷ 8192     		x = 0.5645751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3861 ÷ 213
    3861 ÷ 8192     		y = 0.4713134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5645751953125 × 2 - 1) × π
    0.129150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40573792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4713134765625 × 2 - 1) × π
    0.057373046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.180242742571411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40573792} λ = 0.40573792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.180242742571411))-π/2
    2×atan(1.19750801401832)-π/2
    2×0.875035492010029-π/2
    1.75007098402006-1.57079632675     		φ = 0.17927466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40573792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.247070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17927466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.271681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4625 KachelY 3861 0.40573792 0.17927466 23.247070 10.271681
    Oben rechts KachelX + 1 4626 KachelY 3861 0.40650491 0.17927466 23.291016 10.271681
    Unten links KachelX 4625 KachelY + 1 3862 0.40573792 0.17851991 23.247070 10.228437
    Unten rechts KachelX + 1 4626 KachelY + 1 3862 0.40650491 0.17851991 23.291016 10.228437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17927466-0.17851991) × R
    0.000754749999999998 × 6371000     		dl = 4808.51224999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17927466-0.17851991) × R
    0.000754749999999998 × 6371000     		dr = 4808.51224999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40573792-0.40650491) × cos(0.17927466) × R
    0.000766990000000023 × 0.98397329127854 × 6371000     		do = 4808.17888537194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40573792-0.40650491) × cos(0.17851991) × R
    0.000766990000000023 × 0.984107594936239 × 6371000     		du = 4808.83515929411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17927466)-sin(0.17851991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98397329127854-0.984107594936239)×R²
    abs(0.40650491-0.40573792)×0.00013430365769862×R²
    0.000766990000000023×0.00013430365769862×6371000²
    0.000766990000000023×0.00013430365769862×40589641000000     		ar = 23121766.0187038m²