Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4625 / 3561
↖ ↑ ↗
← N 22.877440°
E 23.247070°		 ← 4 502.11 m → N 22.877440°
E 23.291016°		 →
↑
4 502.77 m
↓
↑
4 502.77 m
↓
N 22.836946°
E 23.247070°		 ← 4 503.46 m →
20 274 999 m²		 N 22.836946°
E 23.291016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56463623046875 y=0.43475341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56463623046875 × 213)
    floor (0.56463623046875 × 8192)
    floor (4625.5)     		tx = 4625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43475341796875 × 213)
    floor (0.43475341796875 × 8192)
    floor (3561.5)     		ty = 3561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4625 / 3561 ti = "13/4625/3561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4625/3561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4625 ÷ 213
    4625 ÷ 8192     		x = 0.5645751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3561 ÷ 213
    3561 ÷ 8192     		y = 0.4346923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5645751953125 × 2 - 1) × π
    0.129150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40573792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4346923828125 × 2 - 1) × π
    0.130615234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.410339860747681
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40573792} λ = 0.40573792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.410339860747681))-π/2
    2×atan(1.50732998036452)-π/2
    2×0.985041493662764-π/2
    1.97008298732553-1.57079632675     		φ = 0.39928666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40573792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.247070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39928666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.877440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4625 KachelY 3561 0.40573792 0.39928666 23.247070 22.877440
    Oben rechts KachelX + 1 4626 KachelY 3561 0.40650491 0.39928666 23.291016 22.877440
    Unten links KachelX 4625 KachelY + 1 3562 0.40573792 0.39857990 23.247070 22.836946
    Unten rechts KachelX + 1 4626 KachelY + 1 3562 0.40650491 0.39857990 23.291016 22.836946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39928666-0.39857990) × R
    0.000706760000000028 × 6371000     		dl = 4502.76796000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39928666-0.39857990) × R
    0.000706760000000028 × 6371000     		dr = 4502.76796000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40573792-0.40650491) × cos(0.39928666) × R
    0.000766990000000023 × 0.921338547316873 × 6371000     		do = 4502.11462928238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40573792-0.40650491) × cos(0.39857990) × R
    0.000766990000000023 × 0.921613078060589 × 6371000     		du = 4503.45612191945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39928666)-sin(0.39857990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921338547316873-0.921613078060589)×R²
    abs(0.40650491-0.40573792)×0.000274530743715418×R²
    0.000766990000000023×0.000274530743715418×6371000²
    0.000766990000000023×0.000274530743715418×40589641000000     		ar = 20274998.5639767m²