Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4625 / 2571
↖ ↑ ↗
← N 76.785679°
W 78.376465°		 ← 558.52 m → N 76.785679°
W 78.354492°		 →
↑
558.61 m
↓
↑
558.61 m
↓
N 76.780655°
W 78.376465°		 ← 558.73 m →
312 052 m²		 N 76.780655°
W 78.354492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282318115234375 y=0.156951904296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282318115234375 × 214)
    floor (0.282318115234375 × 16384)
    floor (4625.5)     		tx = 4625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156951904296875 × 214)
    floor (0.156951904296875 × 16384)
    floor (2571.5)     		ty = 2571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4625 / 2571 ti = "14/4625/2571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4625/2571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4625 ÷ 214
    4625 ÷ 16384     		x = 0.28228759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2571 ÷ 214
    2571 ÷ 16384     		y = 0.15692138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28228759765625 × 2 - 1) × π
    -0.4354248046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.36792737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15692138671875 × 2 - 1) × π
    0.6861572265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.15562650211469
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36792737} λ = -1.36792737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15562650211469))-π/2
    2×atan(8.63329726400939)-π/2
    2×1.45547961902936-π/2
    2.91095923805871-1.57079632675     		φ = 1.34016291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36792737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.376465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34016291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.785679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4625 KachelY 2571 -1.36792737 1.34016291 -78.376465 76.785679
    Oben rechts KachelX + 1 4626 KachelY 2571 -1.36754387 1.34016291 -78.354492 76.785679
    Unten links KachelX 4625 KachelY + 1 2572 -1.36792737 1.34007523 -78.376465 76.780655
    Unten rechts KachelX + 1 4626 KachelY + 1 2572 -1.36754387 1.34007523 -78.354492 76.780655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34016291-1.34007523) × R
    8.76800000000344e-05 × 6371000     		dl = 558.609280000219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34016291-1.34007523) × R
    8.76800000000344e-05 × 6371000     		dr = 558.609280000219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36792737--1.36754387) × cos(1.34016291) × R
    0.000383500000000092 × 0.228594214406961 × 6371000     		do = 558.519329285053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36792737--1.36754387) × cos(1.34007523) × R
    0.000383500000000092 × 0.228679571919137 × 6371000     		du = 558.727881459366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34016291)-sin(1.34007523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228594214406961-0.228679571919137)×R²
    abs(-1.36754387--1.36792737)×8.53575121759487e-05×R²
    0.000383500000000092×8.53575121759487e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.53575121759487e-05×40589641000000     		ar = 312052.330187041m²