Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4624 / 3857
↖ ↑ ↗
← N 10.444598°
E 23.203125°		 ← 4 805.53 m → N 10.444598°
E 23.247070°		 →
↑
4 805.84 m
↓
↑
4 805.84 m
↓
N 10.401378°
E 23.203125°		 ← 4 806.19 m →
23 096 182 m²		 N 10.401378°
E 23.247070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56451416015625 y=0.47088623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56451416015625 × 213)
    floor (0.56451416015625 × 8192)
    floor (4624.5)     		tx = 4624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.47088623046875 × 213)
    floor (0.47088623046875 × 8192)
    floor (3857.5)     		ty = 3857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4624 / 3857 ti = "13/4624/3857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4624/3857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4624 ÷ 213
    4624 ÷ 8192     		x = 0.564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3857 ÷ 213
    3857 ÷ 8192     		y = 0.4708251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564453125 × 2 - 1) × π
    0.12890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40497093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4708251953125 × 2 - 1) × π
    0.058349609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.183310704147095
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40497093} λ = 0.40497093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.183310704147095))-π/2
    2×atan(1.20118756406487)-π/2
    2×0.876544473049757-π/2
    1.75308894609951-1.57079632675     		φ = 0.18229262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40497093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.203125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18229262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.444598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4624 KachelY 3857 0.40497093 0.18229262 23.203125 10.444598
    Oben rechts KachelX + 1 4625 KachelY 3857 0.40573792 0.18229262 23.247070 10.444598
    Unten links KachelX 4624 KachelY + 1 3858 0.40497093 0.18153829 23.203125 10.401378
    Unten rechts KachelX + 1 4625 KachelY + 1 3858 0.40573792 0.18153829 23.247070 10.401378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18229262-0.18153829) × R
    0.000754329999999998 × 6371000     		dl = 4805.83642999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18229262-0.18153829) × R
    0.000754329999999998 × 6371000     		dr = 4805.83642999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40497093-0.40573792) × cos(0.18229262) × R
    0.000766989999999967 × 0.983430660774588 × 6371000     		do = 4805.52732505509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40497093-0.40573792) × cos(0.18153829) × R
    0.000766989999999967 × 0.983567129442025 × 6371000     		du = 4806.19417828281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18229262)-sin(0.18153829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983430660774588-0.983567129442025)×R²
    abs(0.40573792-0.40497093)×0.000136468667436773×R²
    0.000766989999999967×0.000136468667436773×6371000²
    0.000766989999999967×0.000136468667436773×40589641000000     		ar = 23096181.7730476m²