Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4624 / 3557
↖ ↑ ↗
← N 23.039298°
E 23.203125°		 ← 4 496.73 m → N 23.039298°
E 23.247070°		 →
↑
4 497.42 m
↓
↑
4 497.42 m
↓
N 22.998851°
E 23.203125°		 ← 4 498.08 m →
20 226 702 m²		 N 22.998851°
E 23.247070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56451416015625 y=0.43426513671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56451416015625 × 213)
    floor (0.56451416015625 × 8192)
    floor (4624.5)     		tx = 4624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43426513671875 × 213)
    floor (0.43426513671875 × 8192)
    floor (3557.5)     		ty = 3557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4624 / 3557 ti = "13/4624/3557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4624/3557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4624 ÷ 213
    4624 ÷ 8192     		x = 0.564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3557 ÷ 213
    3557 ÷ 8192     		y = 0.4342041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564453125 × 2 - 1) × π
    0.12890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40497093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4342041015625 × 2 - 1) × π
    0.131591796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.413407822323364
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40497093} λ = 0.40497093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.413407822323364))-π/2
    2×atan(1.51196151187369)-π/2
    2×0.98645396491496-π/2
    1.97290792982992-1.57079632675     		φ = 0.40211160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40497093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.203125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40211160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.039298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4624 KachelY 3557 0.40497093 0.40211160 23.203125 23.039298
    Oben rechts KachelX + 1 4625 KachelY 3557 0.40573792 0.40211160 23.247070 23.039298
    Unten links KachelX 4624 KachelY + 1 3558 0.40497093 0.40140568 23.203125 22.998851
    Unten rechts KachelX + 1 4625 KachelY + 1 3558 0.40573792 0.40140568 23.247070 22.998851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40211160-0.40140568) × R
    0.000705920000000027 × 6371000     		dl = 4497.41632000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40211160-0.40140568) × R
    0.000705920000000027 × 6371000     		dr = 4497.41632000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40497093-0.40573792) × cos(0.40211160) × R
    0.000766989999999967 × 0.920236645404605 × 6371000     		do = 4496.73019298152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40497093-0.40573792) × cos(0.40140568) × R
    0.000766989999999967 × 0.92051268662898 × 6371000     		du = 4498.07906657219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40211160)-sin(0.40140568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.920236645404605-0.92051268662898)×R²
    abs(0.40573792-0.40497093)×0.000276041224374746×R²
    0.000766989999999967×0.000276041224374746×6371000²
    0.000766989999999967×0.000276041224374746×40589641000000     		ar = 20226701.8195548m²