Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4624 / 3408
↖ ↑ ↗
← N 28.921631°
E 23.203125°		 ← 4 277.06 m → N 28.921631°
E 23.247070°		 →
↑
4 277.87 m
↓
↑
4 277.87 m
↓
N 28.883159°
E 23.203125°		 ← 4 278.65 m →
18 300 105 m²		 N 28.883159°
E 23.247070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56451416015625 y=0.41607666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56451416015625 × 213)
    floor (0.56451416015625 × 8192)
    floor (4624.5)     		tx = 4624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41607666015625 × 213)
    floor (0.41607666015625 × 8192)
    floor (3408.5)     		ty = 3408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4624 / 3408 ti = "13/4624/3408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4624/3408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4624 ÷ 213
    4624 ÷ 8192     		x = 0.564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3408 ÷ 213
    3408 ÷ 8192     		y = 0.416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564453125 × 2 - 1) × π
    0.12890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40497093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416015625 × 2 - 1) × π
    0.16796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.527689391017578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40497093} λ = 0.40497093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.527689391017578))-π/2
    2×atan(1.69501127210133)-π/2
    2×1.03778700885387-π/2
    2.07557401770774-1.57079632675     		φ = 0.50477769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40497093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.203125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50477769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.921631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4624 KachelY 3408 0.40497093 0.50477769 23.203125 28.921631
    Oben rechts KachelX + 1 4625 KachelY 3408 0.40573792 0.50477769 23.247070 28.921631
    Unten links KachelX 4624 KachelY + 1 3409 0.40497093 0.50410623 23.203125 28.883159
    Unten rechts KachelX + 1 4625 KachelY + 1 3409 0.40573792 0.50410623 23.247070 28.883159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50477769-0.50410623) × R
    0.000671459999999957 × 6371000     		dl = 4277.87165999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50477769-0.50410623) × R
    0.000671459999999957 × 6371000     		dr = 4277.87165999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40497093-0.40573792) × cos(0.50477769) × R
    0.000766989999999967 × 0.875282008031053 × 6371000     		do = 4277.05965910128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40497093-0.40573792) × cos(0.50410623) × R
    0.000766989999999967 × 0.87560653738905 × 6371000     		du = 4278.64546963154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50477769)-sin(0.50410623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875282008031053-0.87560653738905)×R²
    abs(0.40573792-0.40497093)×0.000324529357996761×R²
    0.000766989999999967×0.000324529357996761×6371000²
    0.000766989999999967×0.000324529357996761×40589641000000     		ar = 18300104.9383229m²