Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 4623 / 5681
↖ ↑ ↗
← N 75.361730°
W129.210205°		 ← 308.73 m → N 75.361730°
W129.199219°		 →
↑
308.74 m
↓
↑
308.74 m
↓
N 75.358953°
W129.210205°		 ← 308.78 m →
95 325 m²		 N 75.358953°
W129.199219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.141098022460938 y=0.173385620117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.141098022460938 × 215)
    floor (0.141098022460938 × 32768)
    floor (4623.5)     		tx = 4623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.173385620117188 × 215)
    floor (0.173385620117188 × 32768)
    floor (5681.5)     		ty = 5681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4623 / 5681 ti = "15/4623/5681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4623/5681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4623 ÷ 215
    4623 ÷ 32768     		x = 0.141082763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5681 ÷ 215
    5681 ÷ 32768     		y = 0.173370361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.141082763671875 × 2 - 1) × π
    -0.71783447265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.25514351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.173370361328125 × 2 - 1) × π
    0.65325927734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.05227454653384
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25514351} λ = -2.25514351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05227454653384))-π/2
    2×atan(7.78558966794558)-π/2
    2×1.44305331819555-π/2
    2.88610663639109-1.57079632675     		φ = 1.31531031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25514351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.210205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31531031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.361730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4623 KachelY 5681 -2.25514351 1.31531031 -129.210205 75.361730
    Oben rechts KachelX + 1 4624 KachelY 5681 -2.25495176 1.31531031 -129.199219 75.361730
    Unten links KachelX 4623 KachelY + 1 5682 -2.25514351 1.31526185 -129.210205 75.358953
    Unten rechts KachelX + 1 4624 KachelY + 1 5682 -2.25495176 1.31526185 -129.199219 75.358953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31531031-1.31526185) × R
    4.84600000001389e-05 × 6371000     		dl = 308.738660000885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31531031-1.31526185) × R
    4.84600000001389e-05 × 6371000     		dr = 308.738660000885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25514351--2.25495176) × cos(1.31531031) × R
    0.000191749999999935 × 0.252715679437636 × 6371000     		do = 308.727393091329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25514351--2.25495176) × cos(1.31526185) × R
    0.000191749999999935 × 0.252762566157675 × 6371000     		du = 308.784671748833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31531031)-sin(1.31526185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.252715679437636-0.252762566157675)×R²
    abs(-2.25495176--2.25514351)×4.68867200394407e-05×R²
    0.000191749999999935×4.68867200394407e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.68867200394407e-05×40589641000000     		ar = 95324.9237352627m²