Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4623 / 5649
↖ ↑ ↗
← S 56.194481°
E 23.159180°		 ← 2 718.73 m → S 56.194481°
E 23.203125°		 →
↑
2 717.87 m
↓
↑
2 717.87 m
↓
S 56.218923°
E 23.159180°		 ← 2 716.99 m →
7 386 786 m²		 S 56.218923°
E 23.203125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56439208984375 y=0.68963623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56439208984375 × 213)
    floor (0.56439208984375 × 8192)
    floor (4623.5)     		tx = 4623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.68963623046875 × 213)
    floor (0.68963623046875 × 8192)
    floor (5649.5)     		ty = 5649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4623 / 5649 ti = "13/4623/5649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4623/5649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4623 ÷ 213
    4623 ÷ 8192     		x = 0.5643310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5649 ÷ 213
    5649 ÷ 8192     		y = 0.6895751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5643310546875 × 2 - 1) × π
    0.128662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40420394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6895751953125 × 2 - 1) × π
    -0.379150390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.19113608175916
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40420394} λ = 0.40420394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19113608175916))-π/2
    2×atan(0.303875840089943)-π/2
    2×0.295008807028245-π/2
    0.590017614056491-1.57079632675     		φ = -0.98077871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40420394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.159180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98077871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.194481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4623 KachelY 5649 0.40420394 -0.98077871 23.159180 -56.194481
    Oben rechts KachelX + 1 4624 KachelY 5649 0.40497093 -0.98077871 23.203125 -56.194481
    Unten links KachelX 4623 KachelY + 1 5650 0.40420394 -0.98120531 23.159180 -56.218923
    Unten rechts KachelX + 1 4624 KachelY + 1 5650 0.40497093 -0.98120531 23.203125 -56.218923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98077871--0.98120531) × R
    0.000426599999999944 × 6371000     		dl = 2717.86859999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98077871--0.98120531) × R
    0.000426599999999944 × 6371000     		dr = 2717.86859999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40420394-0.40497093) × cos(-0.98077871) × R
    0.000766990000000023 × 0.556375661337964 × 6371000     		do = 2718.72593584736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40420394-0.40497093) × cos(-0.98120531) × R
    0.000766990000000023 × 0.556021135609577 × 6371000     		du = 2716.99354825446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98077871)-sin(-0.98120531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556375661337964-0.556021135609577)×R²
    abs(0.40497093-0.40420394)×0.000354525728387456×R²
    0.000766990000000023×0.000354525728387456×6371000²
    0.000766990000000023×0.000354525728387456×40589641000000     		ar = 7386785.76414973m²