Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4621 / 8602
↖ ↑ ↗
← S  8.971897°
W 78.464356°		 ← 2 413.38 m → S  8.971897°
W 78.442383°		 →
↑
2 413.27 m
↓
↑
2 413.27 m
↓
S  8.993600°
W 78.464356°		 ← 2 413.24 m →
5 823 978 m²		 S  8.993600°
W 78.442383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282073974609375 y=0.525054931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282073974609375 × 214)
    floor (0.282073974609375 × 16384)
    floor (4621.5)     		tx = 4621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525054931640625 × 214)
    floor (0.525054931640625 × 16384)
    floor (8602.5)     		ty = 8602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4621 / 8602 ti = "14/4621/8602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4621/8602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4621 ÷ 214
    4621 ÷ 16384     		x = 0.28204345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8602 ÷ 214
    8602 ÷ 16384     		y = 0.5250244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28204345703125 × 2 - 1) × π
    -0.4359130859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.36946135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5250244140625 × 2 - 1) × π
    -0.050048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.157233030753784
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36946135} λ = -1.36946135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.157233030753784))-π/2
    2×atan(0.854504909691433)-π/2
    2×0.707103589433409-π/2
    1.41420717886682-1.57079632675     		φ = -0.15658915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36946135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.464356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15658915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.971897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4621 KachelY 8602 -1.36946135 -0.15658915 -78.464356 -8.971897
    Oben rechts KachelX + 1 4622 KachelY 8602 -1.36907785 -0.15658915 -78.442383 -8.971897
    Unten links KachelX 4621 KachelY + 1 8603 -1.36946135 -0.15696794 -78.464356 -8.993600
    Unten rechts KachelX + 1 4622 KachelY + 1 8603 -1.36907785 -0.15696794 -78.442383 -8.993600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15658915--0.15696794) × R
    0.00037878999999999 × 6371000     		dl = 2413.27108999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15658915--0.15696794) × R
    0.00037878999999999 × 6371000     		dr = 2413.27108999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36946135--1.36907785) × cos(-0.15658915) × R
    0.00038349999999987 × 0.98776495018194 × 6371000     		do = 2413.38486583229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36946135--1.36907785) × cos(-0.15696794) × R
    0.00038349999999987 × 0.987705807018834 × 6371000     		du = 2413.24036261345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15658915)-sin(-0.15696794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98776495018194-0.987705807018834)×R²
    abs(-1.36907785--1.36946135)×5.91431631051798e-05×R²
    0.00038349999999987×5.91431631051798e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.91431631051798e-05×40589641000000     		ar = 5823977.63267247m²