Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4621 / 5645
↖ ↑ ↗
← S 56.096556°
E 23.071289°		 ← 2 725.66 m → S 56.096556°
E 23.115235°		 →
↑
2 724.75 m
↓
↑
2 724.75 m
↓
S 56.121060°
E 23.071289°		 ← 2 723.93 m →
7 424 381 m²		 S 56.121060°
E 23.115235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56414794921875 y=0.68914794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56414794921875 × 213)
    floor (0.56414794921875 × 8192)
    floor (4621.5)     		tx = 4621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.68914794921875 × 213)
    floor (0.68914794921875 × 8192)
    floor (5645.5)     		ty = 5645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4621 / 5645 ti = "13/4621/5645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4621/5645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4621 ÷ 213
    4621 ÷ 8192     		x = 0.5640869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5645 ÷ 213
    5645 ÷ 8192     		y = 0.6890869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5640869140625 × 2 - 1) × π
    0.128173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40266996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6890869140625 × 2 - 1) × π
    -0.378173828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.18806812018347
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40266996} λ = 0.40266996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18806812018347))-π/2
    2×atan(0.304809551053426)-π/2
    2×0.295863364968931-π/2
    0.591726729937862-1.57079632675     		φ = -0.97906960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40266996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.071289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97906960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.096556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4621 KachelY 5645 0.40266996 -0.97906960 23.071289 -56.096556
    Oben rechts KachelX + 1 4622 KachelY 5645 0.40343695 -0.97906960 23.115235 -56.096556
    Unten links KachelX 4621 KachelY + 1 5646 0.40266996 -0.97949728 23.071289 -56.121060
    Unten rechts KachelX + 1 4622 KachelY + 1 5646 0.40343695 -0.97949728 23.115235 -56.121060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97906960--0.97949728) × R
    0.000427680000000041 × 6371000     		dl = 2724.74928000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97906960--0.97949728) × R
    0.000427680000000041 × 6371000     		dr = 2724.74928000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40266996-0.40343695) × cos(-0.97906960) × R
    0.000766990000000023 × 0.557795000316603 × 6371000     		do = 2725.66152624271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40266996-0.40343695) × cos(-0.97949728) × R
    0.000766990000000023 × 0.557439983999297 × 6371000     		du = 2723.92674139035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97906960)-sin(-0.97949728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557795000316603-0.557439983999297)×R²
    abs(0.40343695-0.40266996)×0.000355016317306389×R²
    0.000766990000000023×0.000355016317306389×6371000²
    0.000766990000000023×0.000355016317306389×40589641000000     		ar = 7424380.9674306m²