Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4621 / 3783
↖ ↑ ↗
← N 13.624633°
E 23.071289°		 ← 4 748.99 m → N 13.624633°
E 23.115235°		 →
↑
4 749.39 m
↓
↑
4 749.39 m
↓
N 13.581921°
E 23.071289°		 ← 4 749.84 m →
22 556 821 m²		 N 13.581921°
E 23.115235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56414794921875 y=0.46185302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56414794921875 × 213)
    floor (0.56414794921875 × 8192)
    floor (4621.5)     		tx = 4621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.46185302734375 × 213)
    floor (0.46185302734375 × 8192)
    floor (3783.5)     		ty = 3783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4621 / 3783 ti = "13/4621/3783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4621/3783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4621 ÷ 213
    4621 ÷ 8192     		x = 0.5640869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3783 ÷ 213
    3783 ÷ 8192     		y = 0.4617919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5640869140625 × 2 - 1) × π
    0.128173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40266996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4617919921875 × 2 - 1) × π
    0.076416015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.240067993297241
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40266996} λ = 0.40266996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.240067993297241))-π/2
    2×atan(1.27133558968137)-π/2
    2×0.904295519831382-π/2
    1.80859103966276-1.57079632675     		φ = 0.23779471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40266996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.071289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23779471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.624633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4621 KachelY 3783 0.40266996 0.23779471 23.071289 13.624633
    Oben rechts KachelX + 1 4622 KachelY 3783 0.40343695 0.23779471 23.115235 13.624633
    Unten links KachelX 4621 KachelY + 1 3784 0.40266996 0.23704924 23.071289 13.581921
    Unten rechts KachelX + 1 4622 KachelY + 1 3784 0.40343695 0.23704924 23.115235 13.581921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23779471-0.23704924) × R
    0.000745469999999998 × 6371000     		dl = 4749.38936999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23779471-0.23704924) × R
    0.000745469999999998 × 6371000     		dr = 4749.38936999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40266996-0.40343695) × cos(0.23779471) × R
    0.000766990000000023 × 0.971859815697206 × 6371000     		do = 4748.98646822517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40266996-0.40343695) × cos(0.23704924) × R
    0.000766990000000023 × 0.97203514852682 × 6371000     		du = 4749.8432309206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23779471)-sin(0.23704924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971859815697206-0.97203514852682)×R²
    abs(0.40343695-0.40266996)×0.000175332829614017×R²
    0.000766990000000023×0.000175332829614017×6371000²
    0.000766990000000023×0.000175332829614017×40589641000000     		ar = 22556821.4448982m²