Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4621 / 3540
↖ ↑ ↗
← N 23.725012°
E 23.071289°		 ← 4 473.52 m → N 23.725012°
E 23.115235°		 →
↑
4 474.23 m
↓
↑
4 474.23 m
↓
N 23.684774°
E 23.071289°		 ← 4 474.90 m →
20 018 632 m²		 N 23.684774°
E 23.115235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56414794921875 y=0.43218994140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56414794921875 × 213)
    floor (0.56414794921875 × 8192)
    floor (4621.5)     		tx = 4621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43218994140625 × 213)
    floor (0.43218994140625 × 8192)
    floor (3540.5)     		ty = 3540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4621 / 3540 ti = "13/4621/3540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4621/3540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4621 ÷ 213
    4621 ÷ 8192     		x = 0.5640869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3540 ÷ 213
    3540 ÷ 8192     		y = 0.43212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5640869140625 × 2 - 1) × π
    0.128173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40266996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43212890625 × 2 - 1) × π
    0.1357421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.42644665902002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40266996} λ = 0.40266996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.42644665902002))-π/2
    2×atan(1.53180481679352)-π/2
    2×0.992437948325196-π/2
    1.98487589665039-1.57079632675     		φ = 0.41407957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40266996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.071289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41407957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.725012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4621 KachelY 3540 0.40266996 0.41407957 23.071289 23.725012
    Oben rechts KachelX + 1 4622 KachelY 3540 0.40343695 0.41407957 23.115235 23.725012
    Unten links KachelX 4621 KachelY + 1 3541 0.40266996 0.41337729 23.071289 23.684774
    Unten rechts KachelX + 1 4622 KachelY + 1 3541 0.40343695 0.41337729 23.115235 23.684774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41407957-0.41337729) × R
    0.00070228 × 6371000     		dl = 4474.22588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41407957-0.41337729) × R
    0.00070228 × 6371000     		dr = 4474.22588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40266996-0.40343695) × cos(0.41407957) × R
    0.000766990000000023 × 0.915487040910553 × 6371000     		do = 4473.5212824915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40266996-0.40343695) × cos(0.41337729) × R
    0.000766990000000023 × 0.915769375703161 × 6371000     		du = 4474.90090956112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41407957)-sin(0.41337729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915487040910553-0.915769375703161)×R²
    abs(0.40343695-0.40266996)×0.000282334792608196×R²
    0.000766990000000023×0.000282334792608196×6371000²
    0.000766990000000023×0.000282334792608196×40589641000000     		ar = 20018631.9011852m²