Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46209 / 82815
↖ ↑ ↗
← S 42.809507°
W 53.083191°		 ← 224.07 m → S 42.809507°
W 53.080444°		 →
↑
224 m
↓
↑
224 m
↓
S 42.811522°
W 53.083191°		 ← 224.06 m →
50 191 m²		 S 42.811522°
W 53.080444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.352550506591797 y=0.631832122802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.352550506591797 × 217)
    floor (0.352550506591797 × 131072)
    floor (46209.5)     		tx = 46209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631832122802734 × 217)
    floor (0.631832122802734 × 131072)
    floor (82815.5)     		ty = 82815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46209 / 82815 ti = "17/46209/82815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46209/82815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46209 ÷ 217
    46209 ÷ 131072     		x = 0.352546691894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82815 ÷ 217
    82815 ÷ 131072     		y = 0.631828308105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.352546691894531 × 2 - 1) × π
    -0.294906616210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.92647646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631828308105469 × 2 - 1) × π
    -0.263656616210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.82830168853495
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.92647646} λ = -0.92647646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.82830168853495))-π/2
    2×atan(0.436790463020119)-π/2
    2×0.41181474066424-π/2
    0.82362948132848-1.57079632675     		φ = -0.74716685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.92647646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -53.083191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74716685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.809507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46209 KachelY 82815 -0.92647646 -0.74716685 -53.083191 -42.809507
    Oben rechts KachelX + 1 46210 KachelY 82815 -0.92642852 -0.74716685 -53.080444 -42.809507
    Unten links KachelX 46209 KachelY + 1 82816 -0.92647646 -0.74720201 -53.083191 -42.811522
    Unten rechts KachelX + 1 46210 KachelY + 1 82816 -0.92642852 -0.74720201 -53.080444 -42.811522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74716685--0.74720201) × R
    3.5159999999923e-05 × 6371000     		dl = 224.00435999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74716685--0.74720201) × R
    3.5159999999923e-05 × 6371000     		dr = 224.00435999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.92647646--0.92642852) × cos(-0.74716685) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.733617114607465 × 6371000     		do = 224.065550105503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.92647646--0.92642852) × cos(-0.74720201) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.733593220717427 × 6371000     		du = 224.058252296457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74716685)-sin(-0.74720201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733617114607465-0.733593220717427)×R²
    abs(-0.92642852--0.92647646)×2.38938900384289e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38938900384289e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38938900384289e-05×40589641000000     		ar = 50190.842783958m²