Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4620 / 5675
↖ ↑ ↗
← N 75.378379°
W129.243164°		 ← 308.38 m → N 75.378379°
W129.232178°		 →
↑
308.36 m
↓
↑
308.36 m
↓
N 75.375605°
W129.243164°		 ← 308.44 m →
95 101 m²		 N 75.375605°
W129.232178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.141006469726562 y=0.173202514648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.141006469726562 × 215)
    floor (0.141006469726562 × 32768)
    floor (4620.5)     		tx = 4620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.173202514648438 × 215)
    floor (0.173202514648438 × 32768)
    floor (5675.5)     		ty = 5675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4620 / 5675 ti = "15/4620/5675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4620/5675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4620 ÷ 215
    4620 ÷ 32768     		x = 0.1409912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5675 ÷ 215
    5675 ÷ 32768     		y = 0.173187255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1409912109375 × 2 - 1) × π
    -0.718017578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.25571875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.173187255859375 × 2 - 1) × π
    0.65362548828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.05342503212473
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25571875} λ = -2.25571875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05342503212473))-π/2
    2×atan(7.7945520312214)-π/2
    2×1.44319861018734-π/2
    2.88639722037468-1.57079632675     		φ = 1.31560089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25571875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.243164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31560089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.378379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4620 KachelY 5675 -2.25571875 1.31560089 -129.243164 75.378379
    Oben rechts KachelX + 1 4621 KachelY 5675 -2.25552700 1.31560089 -129.232178 75.378379
    Unten links KachelX 4620 KachelY + 1 5676 -2.25571875 1.31555249 -129.243164 75.375605
    Unten rechts KachelX + 1 4621 KachelY + 1 5676 -2.25552700 1.31555249 -129.232178 75.375605
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31560089-1.31555249) × R
    4.84000000000595e-05 × 6371000     		dl = 308.356400000379m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31560089-1.31555249) × R
    4.84000000000595e-05 × 6371000     		dr = 308.356400000379m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25571875--2.25552700) × cos(1.31560089) × R
    0.000191750000000379 × 0.252434520828898 × 6371000     		do = 308.383918700134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25571875--2.25552700) × cos(1.31555249) × R
    0.000191750000000379 × 0.2524813530498 × 6371000     		du = 308.441130779353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31560089)-sin(1.31555249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.252434520828898-0.2524813530498)×R²
    abs(-2.25552700--2.25571875)×4.68322209022931e-05×R²
    0.000191750000000379×4.68322209022931e-05×6371000²
    0.000191750000000379×4.68322209022931e-05×40589641000000     		ar = 95100.9758623642m²