Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4620 / 5673
↖ ↑ ↗
← N 75.383924°
W129.243164°		 ← 308.27 m → N 75.383924°
W129.232178°		 →
↑
308.29 m
↓
↑
308.29 m
↓
N 75.381152°
W129.243164°		 ← 308.33 m →
95 046 m²		 N 75.381152°
W129.232178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.141006469726562 y=0.173141479492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.141006469726562 × 215)
    floor (0.141006469726562 × 32768)
    floor (4620.5)     		tx = 4620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.173141479492188 × 215)
    floor (0.173141479492188 × 32768)
    floor (5673.5)     		ty = 5673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4620 / 5673 ti = "15/4620/5673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4620/5673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4620 ÷ 215
    4620 ÷ 32768     		x = 0.1409912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5673 ÷ 215
    5673 ÷ 32768     		y = 0.173126220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1409912109375 × 2 - 1) × π
    -0.718017578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.25571875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.173126220703125 × 2 - 1) × π
    0.65374755859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.05380852732169
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25571875} λ = -2.25571875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05380852732169))-π/2
    2×atan(7.79754177772791)-π/2
    2×1.44324700492014-π/2
    2.88649400984028-1.57079632675     		φ = 1.31569768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25571875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.243164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31569768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.383924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4620 KachelY 5673 -2.25571875 1.31569768 -129.243164 75.383924
    Oben rechts KachelX + 1 4621 KachelY 5673 -2.25552700 1.31569768 -129.232178 75.383924
    Unten links KachelX 4620 KachelY + 1 5674 -2.25571875 1.31564929 -129.243164 75.381152
    Unten rechts KachelX + 1 4621 KachelY + 1 5674 -2.25552700 1.31564929 -129.232178 75.381152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31569768-1.31564929) × R
    4.83899999998982e-05 × 6371000     		dl = 308.292689999352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31569768-1.31564929) × R
    4.83899999998982e-05 × 6371000     		dr = 308.292689999352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25571875--2.25552700) × cos(1.31569768) × R
    0.000191750000000379 × 0.252340864289558 × 6371000     		do = 308.269504195657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25571875--2.25552700) × cos(1.31564929) × R
    0.000191750000000379 × 0.252387688016652 × 6371000     		du = 308.326705898507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31569768)-sin(1.31564929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.252340864289558-0.252387688016652)×R²
    abs(-2.25552700--2.25571875)×4.68237270943583e-05×R²
    0.000191750000000379×4.68237270943583e-05×6371000²
    0.000191750000000379×4.68237270943583e-05×40589641000000     		ar = 95046.0521457644m²