Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4620 / 5660
↖ ↑ ↗
← S 56.462490°
E 23.027344°		 ← 2 699.70 m → S 56.462490°
E 23.071289°		 →
↑
2 698.88 m
↓
↑
2 698.88 m
↓
S 56.486762°
E 23.027344°		 ← 2 697.98 m →
7 283 855 m²		 S 56.486762°
E 23.071289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56402587890625 y=0.69097900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56402587890625 × 213)
    floor (0.56402587890625 × 8192)
    floor (4620.5)     		tx = 4620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.69097900390625 × 213)
    floor (0.69097900390625 × 8192)
    floor (5660.5)     		ty = 5660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4620 / 5660 ti = "13/4620/5660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4620/5660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4620 ÷ 213
    4620 ÷ 8192     		x = 0.56396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5660 ÷ 213
    5660 ÷ 8192     		y = 0.69091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56396484375 × 2 - 1) × π
    0.1279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40190297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69091796875 × 2 - 1) × π
    -0.3818359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.19957297609229
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40190297} λ = 0.40190297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19957297609229))-π/2
    2×atan(0.301322856506758)-π/2
    2×0.292669981996998-π/2
    0.585339963993996-1.57079632675     		φ = -0.98545636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40190297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.027344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98545636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.462490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4620 KachelY 5660 0.40190297 -0.98545636 23.027344 -56.462490
    Oben rechts KachelX + 1 4621 KachelY 5660 0.40266996 -0.98545636 23.071289 -56.462490
    Unten links KachelX 4620 KachelY + 1 5661 0.40190297 -0.98587998 23.027344 -56.486762
    Unten rechts KachelX + 1 4621 KachelY + 1 5661 0.40266996 -0.98587998 23.071289 -56.486762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98545636--0.98587998) × R
    0.000423619999999958 × 6371000     		dl = 2698.88301999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98545636--0.98587998) × R
    0.000423619999999958 × 6371000     		dr = 2698.88301999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40190297-0.40266996) × cos(-0.98545636) × R
    0.000766989999999967 × 0.552482784839583 × 6371000     		do = 2699.70342095902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40190297-0.40266996) × cos(-0.98587998) × R
    0.000766989999999967 × 0.552129637710084 × 6371000     		du = 2697.97776988034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98545636)-sin(-0.98587998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552482784839583-0.552129637710084)×R²
    abs(0.40266996-0.40190297)×0.000353147129498854×R²
    0.000766989999999967×0.000353147129498854×6371000²
    0.000766989999999967×0.000353147129498854×40589641000000     		ar = 7283855.16558949m²