Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4620 / 12845
↖ ↑ ↗
← S 70.938181°
W 78.486328°		 ← 797.92 m → S 70.938181°
W 78.464356°		 →
↑
797.78 m
↓
↑
797.78 m
↓
S 70.945355°
W 78.486328°		 ← 797.64 m →
636 451 m²		 S 70.945355°
W 78.464356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282012939453125 y=0.784027099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282012939453125 × 214)
    floor (0.282012939453125 × 16384)
    floor (4620.5)     		tx = 4620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784027099609375 × 214)
    floor (0.784027099609375 × 16384)
    floor (12845.5)     		ty = 12845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4620 / 12845 ti = "14/4620/12845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4620/12845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4620 ÷ 214
    4620 ÷ 16384     		x = 0.281982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12845 ÷ 214
    12845 ÷ 16384     		y = 0.78399658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281982421875 × 2 - 1) × π
    -0.43603515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.36984484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78399658203125 × 2 - 1) × π
    -0.5679931640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.78440315145697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36984484} λ = -1.36984484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78440315145697))-π/2
    2×atan(0.167897240324537)-π/2
    2×0.166345752873691-π/2
    0.332691505747381-1.57079632675     		φ = -1.23810482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36984484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.486328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23810482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.938181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4620 KachelY 12845 -1.36984484 -1.23810482 -78.486328 -70.938181
    Oben rechts KachelX + 1 4621 KachelY 12845 -1.36946135 -1.23810482 -78.464356 -70.938181
    Unten links KachelX 4620 KachelY + 1 12846 -1.36984484 -1.23823004 -78.486328 -70.945355
    Unten rechts KachelX + 1 4621 KachelY + 1 12846 -1.36946135 -1.23823004 -78.464356 -70.945355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23810482--1.23823004) × R
    0.000125219999999926 × 6371000     		dl = 797.776619999528m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23810482--1.23823004) × R
    0.000125219999999926 × 6371000     		dr = 797.776619999528m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36984484--1.36946135) × cos(-1.23810482) × R
    0.000383490000000153 × 0.326588130999465 × 6371000     		do = 797.924951896668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36984484--1.36946135) × cos(-1.23823004) × R
    0.000383490000000153 × 0.326469774658391 × 6371000     		du = 797.635781933666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23810482)-sin(-1.23823004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326588130999465-0.326469774658391)×R²
    abs(-1.36946135--1.36984484)×0.000118356341073655×R²
    0.000383490000000153×0.000118356341073655×6371000²
    0.000383490000000153×0.000118356341073655×40589641000000     		ar = 636450.525450426m²