Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 462 / 466
↖ ↑ ↗
← S 81.308321°
E144.843750°		 ← 11.815 km → S 81.308321°
E145.546875°		 →
↑
11.744 km
↓
↑
11.744 km
↓
S 81.413933°
E144.843750°		 ← 11.672 km →
137.913 km²		 S 81.413933°
E145.546875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9033203125 y=0.9111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9033203125 × 29)
    floor (0.9033203125 × 512)
    floor (462.5)     		tx = 462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9111328125 × 29)
    floor (0.9111328125 × 512)
    floor (466.5)     		ty = 466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 462 / 466 ti = "9/462/466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/462/466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 462 ÷ 29
    462 ÷ 512     		x = 0.90234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 466 ÷ 29
    466 ÷ 512     		y = 0.91015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90234375 × 2 - 1) × π
    0.8046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.52800034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91015625 × 2 - 1) × π
    -0.8203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.57708772357422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.52800034} λ = 2.52800034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57708772357422))-π/2
    2×atan(0.0759950005136877)-π/2
    2×0.0758492089119329-π/2
    0.151698417823866-1.57079632675     		φ = -1.41909791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.52800034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 144.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41909791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.308321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 462 KachelY 466 2.52800034 -1.41909791 144.843750 -81.308321
    Oben rechts KachelX + 1 463 KachelY 466 2.54027218 -1.41909791 145.546875 -81.308321
    Unten links KachelX 462 KachelY + 1 467 2.52800034 -1.42094119 144.843750 -81.413933
    Unten rechts KachelX + 1 463 KachelY + 1 467 2.54027218 -1.42094119 145.546875 -81.413933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41909791--1.42094119) × R
    0.00184327999999989 × 6371000     		dl = 11743.5368799993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41909791--1.42094119) × R
    0.00184327999999989 × 6371000     		dr = 11743.5368799993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.52800034-2.54027218) × cos(-1.41909791) × R
    0.0122718399999999 × 0.151117261535263 × 6371000     		do = 11814.9357519237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.52800034-2.54027218) × cos(-1.42094119) × R
    0.0122718399999999 × 0.149294894358631 × 6371000     		du = 11672.4559922353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41909791)-sin(-1.42094119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151117261535263-0.149294894358631)×R²
    abs(2.54027218-2.52800034)×0.00182236717663198×R²
    0.0122718399999999×0.00182236717663198×6371000²
    0.0122718399999999×0.00182236717663198×40589641000000     		ar = 137912564.629854m²