Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 462 / 276
↖ ↑ ↗
← N 63.548552°
W 17.578125°		 ← 17.413 km → N 63.548552°
W 17.226562°		 →
↑
17.461 km
↓
↑
17.461 km
↓
N 63.391522°
W 17.578125°		 ← 17.509 km →
304.888 km²		 N 63.391522°
W 17.226562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45166015625 y=0.27001953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45166015625 × 210)
    floor (0.45166015625 × 1024)
    floor (462.5)     		tx = 462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.27001953125 × 210)
    floor (0.27001953125 × 1024)
    floor (276.5)     		ty = 276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 462 / 276 ti = "10/462/276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/462/276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 462 ÷ 210
    462 ÷ 1024     		x = 0.451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 276 ÷ 210
    276 ÷ 1024     		y = 0.26953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451171875 × 2 - 1) × π
    -0.09765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30679616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26953125 × 2 - 1) × π
    0.4609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.44807786372266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30679616} λ = -0.30679616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44807786372266))-π/2
    2×atan(4.2549280983296)-π/2
    2×1.33996389905054-π/2
    2.67992779810109-1.57079632675     		φ = 1.10913147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30679616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.578125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10913147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.548552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 462 KachelY 276 -0.30679616 1.10913147 -17.578125 63.548552
    Oben rechts KachelX + 1 463 KachelY 276 -0.30066023 1.10913147 -17.226562 63.548552
    Unten links KachelX 462 KachelY + 1 277 -0.30679616 1.10639077 -17.578125 63.391522
    Unten rechts KachelX + 1 463 KachelY + 1 277 -0.30066023 1.10639077 -17.226562 63.391522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10913147-1.10639077) × R
    0.00274069999999993 × 6371000     		dl = 17460.9996999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10913147-1.10639077) × R
    0.00274069999999993 × 6371000     		dr = 17460.9996999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30679616--0.30066023) × cos(1.10913147) × R
    0.00613593000000001 × 0.445439290109431 × 6371000     		do = 17413.117196714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30679616--0.30066023) × cos(1.10639077) × R
    0.00613593000000001 × 0.447891396092727 × 6371000     		du = 17508.9749484076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10913147)-sin(1.10639077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445439290109431-0.447891396092727)×R²
    abs(-0.30066023--0.30679616)×0.00245210598329609×R²
    0.00613593000000001×0.00245210598329609×6371000²
    0.00613593000000001×0.00245210598329609×40589641000000     		ar = 304887511.079944m²