Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 462 / 262
↖ ↑ ↗
← N 65.658274°
W 17.578125°		 ← 16.113 km → N 65.658274°
W 17.226562°		 →
↑
16.158 km
↓
↑
16.158 km
↓
N 65.512963°
W 17.578125°		 ← 16.203 km →
261.080 km²		 N 65.512963°
W 17.226562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45166015625 y=0.25634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45166015625 × 210)
    floor (0.45166015625 × 1024)
    floor (462.5)     		tx = 462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.25634765625 × 210)
    floor (0.25634765625 × 1024)
    floor (262.5)     		ty = 262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 462 / 262 ti = "10/462/262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/462/262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 462 ÷ 210
    462 ÷ 1024     		x = 0.451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 262 ÷ 210
    262 ÷ 1024     		y = 0.255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451171875 × 2 - 1) × π
    -0.09765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30679616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.255859375 × 2 - 1) × π
    0.48828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.5339807878418
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30679616} λ = -0.30679616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5339807878418))-π/2
    2×atan(4.63659744441408)-π/2
    2×1.35837469916305-π/2
    2.7167493983261-1.57079632675     		φ = 1.14595307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30679616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.578125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14595307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.658274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 462 KachelY 262 -0.30679616 1.14595307 -17.578125 65.658274
    Oben rechts KachelX + 1 463 KachelY 262 -0.30066023 1.14595307 -17.226562 65.658274
    Unten links KachelX 462 KachelY + 1 263 -0.30679616 1.14341690 -17.578125 65.512963
    Unten rechts KachelX + 1 463 KachelY + 1 263 -0.30066023 1.14341690 -17.226562 65.512963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14595307-1.14341690) × R
    0.00253616999999995 × 6371000     		dl = 16157.9390699997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14595307-1.14341690) × R
    0.00253616999999995 × 6371000     		dr = 16157.9390699997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30679616--0.30066023) × cos(1.14595307) × R
    0.00613593000000001 × 0.412177977547995 × 6371000     		do = 16112.8656324514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30679616--0.30066023) × cos(1.14341690) × R
    0.00613593000000001 × 0.414487362458354 × 6371000     		du = 16203.1441305303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14595307)-sin(1.14341690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412177977547995-0.414487362458354)×R²
    abs(-0.30066023--0.30679616)×0.00230938491035909×R²
    0.00613593000000001×0.00230938491035909×6371000²
    0.00613593000000001×0.00230938491035909×40589641000000     		ar = 261080198.31033m²