Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4619 / 3836
↖ ↑ ↗
← N 11.350797°
E 22.983399°		 ← 4 790.92 m → N 11.350797°
E 23.027344°		 →
↑
4 791.31 m
↓
↑
4 791.31 m
↓
N 11.307708°
E 22.983399°		 ← 4 791.64 m →
22 956 498 m²		 N 11.307708°
E 23.027344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56390380859375 y=0.46832275390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56390380859375 × 213)
    floor (0.56390380859375 × 8192)
    floor (4619.5)     		tx = 4619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.46832275390625 × 213)
    floor (0.46832275390625 × 8192)
    floor (3836.5)     		ty = 3836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4619 / 3836 ti = "13/4619/3836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4619/3836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4619 ÷ 213
    4619 ÷ 8192     		x = 0.5638427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3836 ÷ 213
    3836 ÷ 8192     		y = 0.46826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5638427734375 × 2 - 1) × π
    0.127685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40113598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46826171875 × 2 - 1) × π
    0.0634765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.199417502419434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40113598} λ = 0.40113598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.199417502419434))-π/2
    2×atan(1.22069150118149)-π/2
    2×0.884452551159742-π/2
    1.76890510231948-1.57079632675     		φ = 0.19810878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40113598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.983399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19810878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.350797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4619 KachelY 3836 0.40113598 0.19810878 22.983399 11.350797
    Oben rechts KachelX + 1 4620 KachelY 3836 0.40190297 0.19810878 23.027344 11.350797
    Unten links KachelX 4619 KachelY + 1 3837 0.40113598 0.19735673 22.983399 11.307708
    Unten rechts KachelX + 1 4620 KachelY + 1 3837 0.40190297 0.19735673 23.027344 11.307708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19810878-0.19735673) × R
    0.000752050000000004 × 6371000     		dl = 4791.31055000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19810878-0.19735673) × R
    0.000752050000000004 × 6371000     		dr = 4791.31055000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40113598-0.40190297) × cos(0.19810878) × R
    0.000766990000000023 × 0.980440552321094 × 6371000     		do = 4790.91618016106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40113598-0.40190297) × cos(0.19735673) × R
    0.000766990000000023 × 0.980588290111766 × 6371000     		du = 4791.63809988386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19810878)-sin(0.19735673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980440552321094-0.980588290111766)×R²
    abs(0.40190297-0.40113598)×0.000147737790672231×R²
    0.000766990000000023×0.000147737790672231×6371000²
    0.000766990000000023×0.000147737790672231×40589641000000     		ar = 22956497.7909394m²