Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4619 / 3537
↖ ↑ ↗
← N 23.845650°
E 22.983399°		 ← 4 469.37 m → N 23.845650°
E 23.027344°		 →
↑
4 470.02 m
↓
↑
4 470.02 m
↓
N 23.805450°
E 22.983399°		 ← 4 470.76 m →
19 981 282 m²		 N 23.805450°
E 23.027344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56390380859375 y=0.43182373046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56390380859375 × 213)
    floor (0.56390380859375 × 8192)
    floor (4619.5)     		tx = 4619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43182373046875 × 213)
    floor (0.43182373046875 × 8192)
    floor (3537.5)     		ty = 3537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4619 / 3537 ti = "13/4619/3537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4619/3537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4619 ÷ 213
    4619 ÷ 8192     		x = 0.5638427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3537 ÷ 213
    3537 ÷ 8192     		y = 0.4317626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5638427734375 × 2 - 1) × π
    0.127685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40113598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4317626953125 × 2 - 1) × π
    0.136474609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.428747630201782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40113598} λ = 0.40113598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.428747630201782))-π/2
    2×atan(1.5353335136911)-π/2
    2×0.99349071480058-π/2
    1.98698142960116-1.57079632675     		φ = 0.41618510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40113598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.983399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41618510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.845650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4619 KachelY 3537 0.40113598 0.41618510 22.983399 23.845650
    Oben rechts KachelX + 1 4620 KachelY 3537 0.40190297 0.41618510 23.027344 23.845650
    Unten links KachelX 4619 KachelY + 1 3538 0.40113598 0.41548348 22.983399 23.805450
    Unten rechts KachelX + 1 4620 KachelY + 1 3538 0.40190297 0.41548348 23.027344 23.805450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41618510-0.41548348) × R
    0.000701619999999958 × 6371000     		dl = 4470.02101999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41618510-0.41548348) × R
    0.000701619999999958 × 6371000     		dr = 4470.02101999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40113598-0.40190297) × cos(0.41618510) × R
    0.000766990000000023 × 0.914637857597 × 6371000     		do = 4469.37175392785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40113598-0.40190297) × cos(0.41548348) × R
    0.000766990000000023 × 0.914921279279134 × 6371000     		du = 4470.75669207584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41618510)-sin(0.41548348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914637857597-0.914921279279134)×R²
    abs(0.40190297-0.40113598)×0.000283421682133467×R²
    0.000766990000000023×0.000283421682133467×6371000²
    0.000766990000000023×0.000283421682133467×40589641000000     		ar = 19981281.8572501m²