Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4618 / 5674
↖ ↑ ↗
← N 75.381152°
W129.265137°		 ← 308.31 m → N 75.381152°
W129.254151°		 →
↑
308.36 m
↓
↑
308.36 m
↓
N 75.378379°
W129.265137°		 ← 308.37 m →
95 078 m²		 N 75.378379°
W129.254151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140945434570312 y=0.173171997070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140945434570312 × 215)
    floor (0.140945434570312 × 32768)
    floor (4618.5)     		tx = 4618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.173171997070312 × 215)
    floor (0.173171997070312 × 32768)
    floor (5674.5)     		ty = 5674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4618 / 5674 ti = "15/4618/5674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4618/5674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4618 ÷ 215
    4618 ÷ 32768     		x = 0.14093017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5674 ÷ 215
    5674 ÷ 32768     		y = 0.17315673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14093017578125 × 2 - 1) × π
    -0.7181396484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.25610224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17315673828125 × 2 - 1) × π
    0.6536865234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.05361677972321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25610224} λ = -2.25610224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05361677972321))-π/2
    2×atan(7.79604676115548)-π/2
    2×1.44322280979853-π/2
    2.88644561959706-1.57079632675     		φ = 1.31564929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25610224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.265137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31564929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.381152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4618 KachelY 5674 -2.25610224 1.31564929 -129.265137 75.381152
    Oben rechts KachelX + 1 4619 KachelY 5674 -2.25591050 1.31564929 -129.254151 75.381152
    Unten links KachelX 4618 KachelY + 1 5675 -2.25610224 1.31560089 -129.265137 75.378379
    Unten rechts KachelX + 1 4619 KachelY + 1 5675 -2.25591050 1.31560089 -129.254151 75.378379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31564929-1.31560089) × R
    4.84000000000595e-05 × 6371000     		dl = 308.356400000379m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31564929-1.31560089) × R
    4.84000000000595e-05 × 6371000     		dr = 308.356400000379m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25610224--2.25591050) × cos(1.31564929) × R
    0.000191739999999996 × 0.252387688016652 × 6371000     		do = 308.310626278287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25610224--2.25591050) × cos(1.31560089) × R
    0.000191739999999996 × 0.252434520828898 × 6371000     		du = 308.367836096195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31564929)-sin(1.31560089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.252387688016652-0.252434520828898)×R²
    abs(-2.25591050--2.25610224)×4.68328122453232e-05×R²
    0.000191739999999996×4.68328122453232e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.68328122453232e-05×40589641000000     		ar = 95078.3753261333m²