Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4618 / 5673
↖ ↑ ↗
← N 75.383924°
W129.265137°		 ← 308.25 m → N 75.383924°
W129.254151°		 →
↑
308.29 m
↓
↑
308.29 m
↓
N 75.381152°
W129.265137°		 ← 308.31 m →
95 041 m²		 N 75.381152°
W129.254151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140945434570312 y=0.173141479492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140945434570312 × 215)
    floor (0.140945434570312 × 32768)
    floor (4618.5)     		tx = 4618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.173141479492188 × 215)
    floor (0.173141479492188 × 32768)
    floor (5673.5)     		ty = 5673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4618 / 5673 ti = "15/4618/5673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4618/5673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4618 ÷ 215
    4618 ÷ 32768     		x = 0.14093017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5673 ÷ 215
    5673 ÷ 32768     		y = 0.173126220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14093017578125 × 2 - 1) × π
    -0.7181396484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.25610224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.173126220703125 × 2 - 1) × π
    0.65374755859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.05380852732169
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25610224} λ = -2.25610224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05380852732169))-π/2
    2×atan(7.79754177772791)-π/2
    2×1.44324700492014-π/2
    2.88649400984028-1.57079632675     		φ = 1.31569768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25610224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.265137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31569768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.383924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4618 KachelY 5673 -2.25610224 1.31569768 -129.265137 75.383924
    Oben rechts KachelX + 1 4619 KachelY 5673 -2.25591050 1.31569768 -129.254151 75.383924
    Unten links KachelX 4618 KachelY + 1 5674 -2.25610224 1.31564929 -129.265137 75.381152
    Unten rechts KachelX + 1 4619 KachelY + 1 5674 -2.25591050 1.31564929 -129.254151 75.381152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31569768-1.31564929) × R
    4.83899999998982e-05 × 6371000     		dl = 308.292689999352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31569768-1.31564929) × R
    4.83899999998982e-05 × 6371000     		dr = 308.292689999352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25610224--2.25591050) × cos(1.31569768) × R
    0.000191739999999996 × 0.252340864289558 × 6371000     		do = 308.253427558577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25610224--2.25591050) × cos(1.31564929) × R
    0.000191739999999996 × 0.252387688016652 × 6371000     		du = 308.310626278287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31569768)-sin(1.31564929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.252340864289558-0.252387688016652)×R²
    abs(-2.25591050--2.25610224)×4.68237270943583e-05×R²
    0.000191739999999996×4.68237270943583e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.68237270943583e-05×40589641000000     		ar = 95041.0953762318m²