Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4618 / 3838
↖ ↑ ↗
← N 11.264612°
E 22.939453°		 ← 4 792.36 m → N 11.264612°
E 22.983399°		 →
↑
4 792.71 m
↓
↑
4 792.71 m
↓
N 11.221510°
E 22.939453°		 ← 4 793.07 m →
22 970 108 m²		 N 11.221510°
E 22.983399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56378173828125 y=0.46856689453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56378173828125 × 213)
    floor (0.56378173828125 × 8192)
    floor (4618.5)     		tx = 4618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.46856689453125 × 213)
    floor (0.46856689453125 × 8192)
    floor (3838.5)     		ty = 3838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4618 / 3838 ti = "13/4618/3838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4618/3838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4618 ÷ 213
    4618 ÷ 8192     		x = 0.563720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3838 ÷ 213
    3838 ÷ 8192     		y = 0.468505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563720703125 × 2 - 1) × π
    0.12744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40036899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468505859375 × 2 - 1) × π
    0.06298828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.197883521631592
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40036899} λ = 0.40036899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.197883521631592))-π/2
    2×atan(1.2188204193395)-π/2
    2×0.883700449428958-π/2
    1.76740089885792-1.57079632675     		φ = 0.19660457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40036899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.939453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19660457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.264612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4618 KachelY 3838 0.40036899 0.19660457 22.939453 11.264612
    Oben rechts KachelX + 1 4619 KachelY 3838 0.40113598 0.19660457 22.983399 11.264612
    Unten links KachelX 4618 KachelY + 1 3839 0.40036899 0.19585230 22.939453 11.221510
    Unten rechts KachelX + 1 4619 KachelY + 1 3839 0.40113598 0.19585230 22.983399 11.221510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19660457-0.19585230) × R
    0.000752269999999999 × 6371000     		dl = 4792.71217m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19660457-0.19585230) × R
    0.000752269999999999 × 6371000     		dr = 4792.71217m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40036899-0.40113598) × cos(0.19660457) × R
    0.000766990000000023 × 0.980735494789576 × 6371000     		do = 4792.35741455424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40036899-0.40113598) × cos(0.19585230) × R
    0.000766990000000023 × 0.980882166027831 × 6371000     		du = 4793.0741225758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19660457)-sin(0.19585230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980735494789576-0.980882166027831)×R²
    abs(0.40113598-0.40036899)×0.000146671238254736×R²
    0.000766990000000023×0.000146671238254736×6371000²
    0.000766990000000023×0.000146671238254736×40589641000000     		ar = 22970108.2746033m²