Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4617 / 5623
↖ ↑ ↗
← N 75.521898°
W129.276123°		 ← 305.42 m → N 75.521898°
W129.265137°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
N 75.519151°
W129.276123°		 ← 305.48 m →
93 292 m²		 N 75.519151°
W129.265137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140914916992188 y=0.171615600585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140914916992188 × 215)
    floor (0.140914916992188 × 32768)
    floor (4617.5)     		tx = 4617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171615600585938 × 215)
    floor (0.171615600585938 × 32768)
    floor (5623.5)     		ty = 5623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4617 / 5623 ti = "15/4617/5623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4617/5623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4617 ÷ 215
    4617 ÷ 32768     		x = 0.140899658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5623 ÷ 215
    5623 ÷ 32768     		y = 0.171600341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140899658203125 × 2 - 1) × π
    -0.71820068359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.25629399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171600341796875 × 2 - 1) × π
    0.65679931640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.0633959072457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25629399} λ = -2.25629399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0633959072457))-π/2
    2×atan(7.87265928789297)-π/2
    2×1.44445105391509-π/2
    2.88890210783019-1.57079632675     		φ = 1.31810578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25629399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.276123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31810578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.521898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4617 KachelY 5623 -2.25629399 1.31810578 -129.276123 75.521898
    Oben rechts KachelX + 1 4618 KachelY 5623 -2.25610224 1.31810578 -129.265137 75.521898
    Unten links KachelX 4617 KachelY + 1 5624 -2.25629399 1.31805784 -129.276123 75.519151
    Unten rechts KachelX + 1 4618 KachelY + 1 5624 -2.25610224 1.31805784 -129.265137 75.519151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31810578-1.31805784) × R
    4.79399999999686e-05 × 6371000     		dl = 305.4257399998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31810578-1.31805784) × R
    4.79399999999686e-05 × 6371000     		dr = 305.4257399998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25629399--2.25610224) × cos(1.31810578) × R
    0.000191749999999935 × 0.250009964836752 × 6371000     		do = 305.421985935593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25629399--2.25610224) × cos(1.31805784) × R
    0.000191749999999935 × 0.250056382131499 × 6371000     		du = 305.478691124734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31810578)-sin(1.31805784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250009964836752-0.250056382131499)×R²
    abs(-2.25610224--2.25629399)×4.64172947466368e-05×R²
    0.000191749999999935×4.64172947466368e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.64172947466368e-05×40589641000000     		ar = 93292.395696305m²