Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4617 / 12844
↖ ↑ ↗
← S 70.931003°
W 78.552246°		 ← 798.24 m → S 70.931003°
W 78.530273°		 →
↑
798.10 m
↓
↑
798.10 m
↓
S 70.938181°
W 78.552246°		 ← 797.95 m →
636 952 m²		 S 70.938181°
W 78.530273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281829833984375 y=0.783966064453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281829833984375 × 214)
    floor (0.281829833984375 × 16384)
    floor (4617.5)     		tx = 4617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783966064453125 × 214)
    floor (0.783966064453125 × 16384)
    floor (12844.5)     		ty = 12844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4617 / 12844 ti = "14/4617/12844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4617/12844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4617 ÷ 214
    4617 ÷ 16384     		x = 0.28179931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12844 ÷ 214
    12844 ÷ 16384     		y = 0.783935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28179931640625 × 2 - 1) × π
    -0.4364013671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.37099533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783935546875 × 2 - 1) × π
    -0.56787109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.78401965626001
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37099533} λ = -1.37099533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78401965626001))-π/2
    2×atan(0.167961640457565)-π/2
    2×0.16640838671381-π/2
    0.33281677342762-1.57079632675     		φ = -1.23797955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37099533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.552246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23797955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.931003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4617 KachelY 12844 -1.37099533 -1.23797955 -78.552246 -70.931003
    Oben rechts KachelX + 1 4618 KachelY 12844 -1.37061183 -1.23797955 -78.530273 -70.931003
    Unten links KachelX 4617 KachelY + 1 12845 -1.37099533 -1.23810482 -78.552246 -70.938181
    Unten rechts KachelX + 1 4618 KachelY + 1 12845 -1.37061183 -1.23810482 -78.530273 -70.938181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23797955--1.23810482) × R
    0.000125270000000066 × 6371000     		dl = 798.095170000421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23797955--1.23810482) × R
    0.000125270000000066 × 6371000     		dr = 798.095170000421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37099533--1.37061183) × cos(-1.23797955) × R
    0.00038349999999987 × 0.326706529475913 × 6371000     		do = 798.235039277844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37099533--1.37061183) × cos(-1.23810482) × R
    0.00038349999999987 × 0.326588130999465 × 6371000     		du = 797.945758825905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23797955)-sin(-1.23810482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326706529475913-0.326588130999465)×R²
    abs(-1.37061183--1.37099533)×0.000118398476448289×R²
    0.00038349999999987×0.000118398476448289×6371000²
    0.00038349999999987×0.000118398476448289×40589641000000     		ar = 636952.093541102m²