Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46169 / 82893
↖ ↑ ↗
← S 42.966472°
W 53.193054°		 ← 223.45 m → S 42.966472°
W 53.190308°		 →
↑
223.49 m
↓
↑
223.49 m
↓
S 42.968482°
W 53.193054°		 ← 223.44 m →
49 939 m²		 S 42.968482°
W 53.190308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.352245330810547 y=0.632427215576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.352245330810547 × 217)
    floor (0.352245330810547 × 131072)
    floor (46169.5)     		tx = 46169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632427215576172 × 217)
    floor (0.632427215576172 × 131072)
    floor (82893.5)     		ty = 82893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46169 / 82893 ti = "17/46169/82893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46169/82893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46169 ÷ 217
    46169 ÷ 131072     		x = 0.352241516113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82893 ÷ 217
    82893 ÷ 131072     		y = 0.632423400878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.352241516113281 × 2 - 1) × π
    -0.295516967773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.92839393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632423400878906 × 2 - 1) × π
    -0.264846801757812 × 3.1415926535     		Φ = -0.832040766705315
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.92839393} λ = -0.92839393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.832040766705315))-π/2
    2×atan(0.435160318852267)-π/2
    2×0.410444957510783-π/2
    0.820889915021565-1.57079632675     		φ = -0.74990641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.92839393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -53.193054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74990641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.966472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46169 KachelY 82893 -0.92839393 -0.74990641 -53.193054 -42.966472
    Oben rechts KachelX + 1 46170 KachelY 82893 -0.92834600 -0.74990641 -53.190308 -42.966472
    Unten links KachelX 46169 KachelY + 1 82894 -0.92839393 -0.74994149 -53.193054 -42.968482
    Unten rechts KachelX + 1 46170 KachelY + 1 82894 -0.92834600 -0.74994149 -53.190308 -42.968482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74990641--0.74994149) × R
    3.50799999999651e-05 × 6371000     		dl = 223.494679999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74990641--0.74994149) × R
    3.50799999999651e-05 × 6371000     		dr = 223.494679999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.92839393--0.92834600) × cos(-0.74990641) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.731752660240815 × 6371000     		do = 223.449477789172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.92839393--0.92834600) × cos(-0.74994149) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.731728750305208 × 6371000     		du = 223.442176602698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74990641)-sin(-0.74994149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731752660240815-0.731728750305208)×R²
    abs(-0.92834600--0.92839393)×2.39099356067474e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39099356067474e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39099356067474e-05×40589641000000     		ar = 49938.9536515081m²