Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4616 / 5624
↖ ↑ ↗
← N 75.519151°
W129.287109°		 ← 305.48 m → N 75.519151°
W129.276123°		 →
↑
305.49 m
↓
↑
305.49 m
↓
N 75.516404°
W129.287109°		 ← 305.54 m →
93 329 m²		 N 75.516404°
W129.276123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140884399414062 y=0.171646118164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140884399414062 × 215)
    floor (0.140884399414062 × 32768)
    floor (4616.5)     		tx = 4616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171646118164062 × 215)
    floor (0.171646118164062 × 32768)
    floor (5624.5)     		ty = 5624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4616 / 5624 ti = "15/4616/5624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4616/5624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4616 ÷ 215
    4616 ÷ 32768     		x = 0.140869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5624 ÷ 215
    5624 ÷ 32768     		y = 0.171630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140869140625 × 2 - 1) × π
    -0.71826171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.25648574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171630859375 × 2 - 1) × π
    0.65673828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.06320415964722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25648574} λ = -2.25648574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06320415964722))-π/2
    2×atan(7.87114986909921)-π/2
    2×1.44442708228482-π/2
    2.88885416456965-1.57079632675     		φ = 1.31805784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25648574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.287109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31805784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.519151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4616 KachelY 5624 -2.25648574 1.31805784 -129.287109 75.519151
    Oben rechts KachelX + 1 4617 KachelY 5624 -2.25629399 1.31805784 -129.276123 75.519151
    Unten links KachelX 4616 KachelY + 1 5625 -2.25648574 1.31800989 -129.287109 75.516404
    Unten rechts KachelX + 1 4617 KachelY + 1 5625 -2.25629399 1.31800989 -129.276123 75.516404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31805784-1.31800989) × R
    4.79500000001298e-05 × 6371000     		dl = 305.489450000827m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31805784-1.31800989) × R
    4.79500000001298e-05 × 6371000     		dr = 305.489450000827m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25648574--2.25629399) × cos(1.31805784) × R
    0.000191749999999935 × 0.250056382131499 × 6371000     		do = 305.478691124734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25648574--2.25629399) × cos(1.31800989) × R
    0.000191749999999935 × 0.250102808533748 × 6371000     		du = 305.535407439958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31805784)-sin(1.31800989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250056382131499-0.250102808533748)×R²
    abs(-2.25629399--2.25648574)×4.64264022492222e-05×R²
    0.000191749999999935×4.64264022492222e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.64264022492222e-05×40589641000000     		ar = 93329.1804748356m²