Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4615 / 8600
↖ ↑ ↗
← S  8.928487°
W 78.596191°		 ← 2 413.67 m → S  8.928487°
W 78.574219°		 →
↑
2 413.53 m
↓
↑
2 413.53 m
↓
S  8.950193°
W 78.596191°		 ← 2 413.53 m →
5 825 289 m²		 S  8.950193°
W 78.574219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281707763671875 y=0.524932861328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281707763671875 × 214)
    floor (0.281707763671875 × 16384)
    floor (4615.5)     		tx = 4615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524932861328125 × 214)
    floor (0.524932861328125 × 16384)
    floor (8600.5)     		ty = 8600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4615 / 8600 ti = "14/4615/8600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4615/8600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4615 ÷ 214
    4615 ÷ 16384     		x = 0.28167724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8600 ÷ 214
    8600 ÷ 16384     		y = 0.52490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28167724609375 × 2 - 1) × π
    -0.4366455078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.37176232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52490234375 × 2 - 1) × π
    -0.0498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.156466040359863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37176232} λ = -1.37176232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.156466040359863))-π/2
    2×atan(0.855160558154619)-π/2
    2×0.707482415167042-π/2
    1.41496483033408-1.57079632675     		φ = -0.15583150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37176232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.596191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15583150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.928487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4615 KachelY 8600 -1.37176232 -0.15583150 -78.596191 -8.928487
    Oben rechts KachelX + 1 4616 KachelY 8600 -1.37137882 -0.15583150 -78.574219 -8.928487
    Unten links KachelX 4615 KachelY + 1 8601 -1.37176232 -0.15621033 -78.596191 -8.950193
    Unten rechts KachelX + 1 4616 KachelY + 1 8601 -1.37137882 -0.15621033 -78.574219 -8.950193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15583150--0.15621033) × R
    0.000378829999999997 × 6371000     		dl = 2413.52592999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15583150--0.15621033) × R
    0.000378829999999997 × 6371000     		dr = 2413.52592999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37176232--1.37137882) × cos(-0.15583150) × R
    0.00038349999999987 × 0.987882822184733 × 6371000     		do = 2413.67285996246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37176232--1.37137882) × cos(-0.15621033) × R
    0.00038349999999987 × 0.987823956285965 × 6371000     		du = 2413.52903417762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15583150)-sin(-0.15621033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987882822184733-0.987823956285965)×R²
    abs(-1.37137882--1.37176232)×5.88658987684676e-05×R²
    0.00038349999999987×5.88658987684676e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.88658987684676e-05×40589641000000     		ar = 5825288.54009308m²