Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4615 / 3591
↖ ↑ ↗
← N 70.561492°
W 78.596191°		 ← 813.11 m → N 70.561492°
W 78.574219°		 →
↑
813.19 m
↓
↑
813.19 m
↓
N 70.554179°
W 78.596191°		 ← 813.40 m →
661 337 m²		 N 70.554179°
W 78.574219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281707763671875 y=0.219207763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281707763671875 × 214)
    floor (0.281707763671875 × 16384)
    floor (4615.5)     		tx = 4615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219207763671875 × 214)
    floor (0.219207763671875 × 16384)
    floor (3591.5)     		ty = 3591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4615 / 3591 ti = "14/4615/3591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4615/3591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4615 ÷ 214
    4615 ÷ 16384     		x = 0.28167724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3591 ÷ 214
    3591 ÷ 16384     		y = 0.21917724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28167724609375 × 2 - 1) × π
    -0.4366455078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.37176232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21917724609375 × 2 - 1) × π
    0.5616455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.76446140121503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37176232} λ = -1.37176232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76446140121503))-π/2
    2×atan(5.83842694144642)-π/2
    2×1.40116334582973-π/2
    2.80232669165946-1.57079632675     		φ = 1.23153036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37176232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.596191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23153036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.561492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4615 KachelY 3591 -1.37176232 1.23153036 -78.596191 70.561492
    Oben rechts KachelX + 1 4616 KachelY 3591 -1.37137882 1.23153036 -78.574219 70.561492
    Unten links KachelX 4615 KachelY + 1 3592 -1.37176232 1.23140272 -78.596191 70.554179
    Unten rechts KachelX + 1 4616 KachelY + 1 3592 -1.37137882 1.23140272 -78.574219 70.554179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23153036-1.23140272) × R
    0.000127640000000095 × 6371000     		dl = 813.194440000608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23153036-1.23140272) × R
    0.000127640000000095 × 6371000     		dr = 813.194440000608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37176232--1.37137882) × cos(1.23153036) × R
    0.00038349999999987 × 0.332794989131984 × 6371000     		do = 813.110841853634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37176232--1.37137882) × cos(1.23140272) × R
    0.00038349999999987 × 0.332915350838873 × 6371000     		du = 813.404919024301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23153036)-sin(1.23140272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332794989131984-0.332915350838873)×R²
    abs(-1.37137882--1.37176232)×0.000120361706889616×R²
    0.00038349999999987×0.000120361706889616×6371000²
    0.00038349999999987×0.000120361706889616×40589641000000     		ar = 661336.787558299m²