Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46146 / 82898
↖ ↑ ↗
← S 42.976521°
W 53.256225°		 ← 223.41 m → S 42.976521°
W 53.253479°		 →
↑
223.43 m
↓
↑
223.43 m
↓
S 42.978530°
W 53.256225°		 ← 223.41 m →
49 917 m²		 S 42.978530°
W 53.253479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.352069854736328 y=0.632465362548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.352069854736328 × 217)
    floor (0.352069854736328 × 131072)
    floor (46146.5)     		tx = 46146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632465362548828 × 217)
    floor (0.632465362548828 × 131072)
    floor (82898.5)     		ty = 82898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46146 / 82898 ti = "17/46146/82898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46146/82898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46146 ÷ 217
    46146 ÷ 131072     		x = 0.352066040039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82898 ÷ 217
    82898 ÷ 131072     		y = 0.632461547851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.352066040039062 × 2 - 1) × π
    -0.295867919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.92949648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632461547851562 × 2 - 1) × π
    -0.264923095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.832280451203415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.92949648} λ = -0.92949648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.832280451203415))-π/2
    2×atan(0.435056030168339)-π/2
    2×0.410357269789434-π/2
    0.820714539578867-1.57079632675     		φ = -0.75008179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.92949648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -53.256225°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75008179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.976521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46146 KachelY 82898 -0.92949648 -0.75008179 -53.256225 -42.976521
    Oben rechts KachelX + 1 46147 KachelY 82898 -0.92944855 -0.75008179 -53.253479 -42.976521
    Unten links KachelX 46146 KachelY + 1 82899 -0.92949648 -0.75011686 -53.256225 -42.978530
    Unten rechts KachelX + 1 46147 KachelY + 1 82899 -0.92944855 -0.75011686 -53.253479 -42.978530
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75008179--0.75011686) × R
    3.50700000000259e-05 × 6371000     		dl = 223.430970000165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75008179--0.75011686) × R
    3.50700000000259e-05 × 6371000     		dr = 223.430970000165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.92949648--0.92944855) × cos(-0.75008179) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.731633115192346 × 6371000     		do = 223.412973269978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.92949648--0.92944855) × cos(-0.75011686) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.731609207572439 × 6371000     		du = 223.405672790631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75008179)-sin(-0.75011686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731633115192346-0.731609207572439)×R²
    abs(-0.92944855--0.92949648)×2.39076199070043e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39076199070043e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39076199070043e-05×40589641000000     		ar = 49916.56175688m²