Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4614 / 5626
↖ ↑ ↗
← N 75.513656°
W129.309082°		 ← 305.58 m → N 75.513656°
W129.298096°		 →
↑
305.62 m
↓
↑
305.62 m
↓
N 75.510907°
W129.309082°		 ← 305.63 m →
93 398 m²		 N 75.510907°
W129.298096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140823364257812 y=0.171707153320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140823364257812 × 215)
    floor (0.140823364257812 × 32768)
    floor (4614.5)     		tx = 4614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171707153320312 × 215)
    floor (0.171707153320312 × 32768)
    floor (5626.5)     		ty = 5626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4614 / 5626 ti = "15/4614/5626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4614/5626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4614 ÷ 215
    4614 ÷ 32768     		x = 0.14080810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5626 ÷ 215
    5626 ÷ 32768     		y = 0.17169189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14080810546875 × 2 - 1) × π
    -0.7183837890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.25686923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17169189453125 × 2 - 1) × π
    0.6566162109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.06282066445026
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25686923} λ = -2.25686923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06282066445026))-π/2
    2×atan(7.86813189965523)-π/2
    2×1.44437912567084-π/2
    2.88875825134169-1.57079632675     		φ = 1.31796192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25686923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.309082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31796192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.513656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4614 KachelY 5626 -2.25686923 1.31796192 -129.309082 75.513656
    Oben rechts KachelX + 1 4615 KachelY 5626 -2.25667749 1.31796192 -129.298096 75.513656
    Unten links KachelX 4614 KachelY + 1 5627 -2.25686923 1.31791395 -129.309082 75.510907
    Unten rechts KachelX + 1 4615 KachelY + 1 5627 -2.25667749 1.31791395 -129.298096 75.510907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31796192-1.31791395) × R
    4.79700000000083e-05 × 6371000     		dl = 305.616870000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31796192-1.31791395) × R
    4.79700000000083e-05 × 6371000     		dr = 305.616870000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25686923--2.25667749) × cos(1.31796192) × R
    0.000191739999999996 × 0.250149253725106 × 6371000     		do = 305.576209699837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25686923--2.25667749) × cos(1.31791395) × R
    0.000191739999999996 × 0.25019569834084 × 6371000     		du = 305.632945306382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31796192)-sin(1.31791395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250149253725106-0.25019569834084)×R²
    abs(-2.25667749--2.25686923)×4.64446157342202e-05×R²
    0.000191739999999996×4.64446157342202e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.64446157342202e-05×40589641000000     		ar = 93397.9144518918m²