Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4613 / 8598
↖ ↑ ↗
← S  8.885071°
W 78.640137°		 ← 2 413.96 m → S  8.885071°
W 78.618164°		 →
↑
2 413.91 m
↓
↑
2 413.91 m
↓
S  8.906780°
W 78.640137°		 ← 2 413.82 m →
5 826 904 m²		 S  8.906780°
W 78.618164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281585693359375 y=0.524810791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281585693359375 × 214)
    floor (0.281585693359375 × 16384)
    floor (4613.5)     		tx = 4613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524810791015625 × 214)
    floor (0.524810791015625 × 16384)
    floor (8598.5)     		ty = 8598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4613 / 8598 ti = "14/4613/8598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4613/8598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4613 ÷ 214
    4613 ÷ 16384     		x = 0.28155517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8598 ÷ 214
    8598 ÷ 16384     		y = 0.5247802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28155517578125 × 2 - 1) × π
    -0.4368896484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.37252931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5247802734375 × 2 - 1) × π
    -0.049560546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.155699049965942
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37252931} λ = -1.37252931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.155699049965942))-π/2
    2×atan(0.855816709686779)-π/2
    2×0.707861285998055-π/2
    1.41572257199611-1.57079632675     		φ = -0.15507375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37252931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.640137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15507375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.885071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4613 KachelY 8598 -1.37252931 -0.15507375 -78.640137 -8.885071
    Oben rechts KachelX + 1 4614 KachelY 8598 -1.37214581 -0.15507375 -78.618164 -8.885071
    Unten links KachelX 4613 KachelY + 1 8599 -1.37252931 -0.15545264 -78.640137 -8.906780
    Unten rechts KachelX + 1 4614 KachelY + 1 8599 -1.37214581 -0.15545264 -78.618164 -8.906780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15507375--0.15545264) × R
    0.000378889999999993 × 6371000     		dl = 2413.90818999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15507375--0.15545264) × R
    0.000378889999999993 × 6371000     		dr = 2413.90818999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37252931--1.37214581) × cos(-0.15507375) × R
    0.000383500000000092 × 0.988000142554999 × 6371000     		do = 2413.95950630214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37252931--1.37214581) × cos(-0.15545264) × R
    0.000383500000000092 × 0.987941550955116 × 6371000     		du = 2413.81635070587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15507375)-sin(-0.15545264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988000142554999-0.987941550955116)×R²
    abs(-1.37214581--1.37252931)×5.85915998828623e-05×R²
    0.000383500000000092×5.85915998828623e-05×6371000²
    0.000383500000000092×5.85915998828623e-05×40589641000000     		ar = 5826903.91006581m²