Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 4613 / 5625
↖ ↑ ↗
← N 75.516404°
W129.320068°		 ← 305.54 m → N 75.516404°
W129.309082°		 →
↑
305.62 m
↓
↑
305.62 m
↓
N 75.513656°
W129.320068°		 ← 305.59 m →
93 385 m²		 N 75.513656°
W129.309082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140792846679688 y=0.171676635742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140792846679688 × 215)
    floor (0.140792846679688 × 32768)
    floor (4613.5)     		tx = 4613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171676635742188 × 215)
    floor (0.171676635742188 × 32768)
    floor (5625.5)     		ty = 5625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4613 / 5625 ti = "15/4613/5625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4613/5625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4613 ÷ 215
    4613 ÷ 32768     		x = 0.140777587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5625 ÷ 215
    5625 ÷ 32768     		y = 0.171661376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140777587890625 × 2 - 1) × π
    -0.71844482421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.25706098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171661376953125 × 2 - 1) × π
    0.65667724609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.06301241204874
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25706098} λ = -2.25706098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06301241204874))-π/2
    2×atan(7.86964073970512)-π/2
    2×1.44440310620366-π/2
    2.88880621240733-1.57079632675     		φ = 1.31800989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25706098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.320068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31800989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.516404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4613 KachelY 5625 -2.25706098 1.31800989 -129.320068 75.516404
    Oben rechts KachelX + 1 4614 KachelY 5625 -2.25686923 1.31800989 -129.309082 75.516404
    Unten links KachelX 4613 KachelY + 1 5626 -2.25706098 1.31796192 -129.320068 75.513656
    Unten rechts KachelX + 1 4614 KachelY + 1 5626 -2.25686923 1.31796192 -129.309082 75.513656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31800989-1.31796192) × R
    4.79700000000083e-05 × 6371000     		dl = 305.616870000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31800989-1.31796192) × R
    4.79700000000083e-05 × 6371000     		dr = 305.616870000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25706098--2.25686923) × cos(1.31800989) × R
    0.000191749999999935 × 0.250102808533748 × 6371000     		do = 305.535407439958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25706098--2.25686923) × cos(1.31796192) × R
    0.000191749999999935 × 0.250149253725106 × 6371000     		du = 305.592146708695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31800989)-sin(1.31796192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250102808533748-0.250149253725106)×R²
    abs(-2.25686923--2.25706098)×4.64451913578801e-05×R²
    0.000191749999999935×4.64451913578801e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.64451913578801e-05×40589641000000     		ar = 93385.4451524446m²